1.4. Задача интерполяции как простейшая задача приближения функций.

Пусть дана сетка узлов , где , и известны значения функции в узлах сетки: , причем (n+1) узловых точек – попарно различны.

Интерполяция обобщенными полиномами.

Пусть известна система линейно независимых функций . Требуется найти такую линейную комбинацию

- «обобщенный полином n-го порядка», для которого выполняется условие совпадения значений полинома в узлах сетки со значениями . Это требование приводит к системе линейных уравнений:

.

(4)

Систему (4) называют нормальной системой уравнений.

Для разрешимости системы (4) необходимо, чтобы определитель системы

.

Рассмотрим частный случай задачи интерполяции – интерполяцию алгебраическими полиномами.

В этом случае в качестве базисной системы функции выступают степенные функции:

.

Обозначим - искомый интерполяционный полином n-ой степени

,

и запишем условия совпадения значений полинома с табличными значениями функции :

.

(5)

Определитель этой системы - определитель Вандермонда – отличен от нуля:

,

поэтому система имеет единственное решение.

Система (5) плохо обусловлена.(см. п.п 3.4.3.). Покажем, как можно построить искомый интерполяционный полином другим способом, не решая систему. Для этого построим так называемые фундаментальные полиномы степени n: , удовлетворяющие условию:

.

(6)

Нетрудно убедиться, что указанным свойством обладает полином следующего вида:

Условие (6) непосредственно проверяется. Отсюда следует, что искомый интерполяционный полином можно записать в виде:

.

(7)

Очевидно, что в силу свойства фундаментальных полиномов, Полученный таким способом полином называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Приведем еще одно доказательство единственности полинома Лагранжа (7) независимо от логики решения нормальной системы (2).

Теорема 1.1. Полином Лагранжа (4), проходящий через все табличные (n+1) значения функции y(x) – единственный.

От противного. Пусть еще один полином степени n, решающий ту же задачу интерполяции. Рассмотрим разность - полином порядка . Очевидно, что этот полином имеет на отрезке ровно (n+1) корень, что противоречит основной теореме алгебры. Значит,

Теорема 1.2. (О погрешности интерполяции). Пусть функция , задана сетка узлов , – интерполяционный полином Лагранжа (4), построенный по значениям функции y(x) в узлах сетки X_n. Тогда для погрешности интерполяции справедливы следующие оценки:

	(8)
– теоретическая погрешность в точке ,
	(9)
– абсолютная погрешность в точке,
	(10)

– максимальная абсолютная погрешность на всем отрезке,

где

–

– специальный полином (n+1)-ой степени, построенный по узлам как по нулям;

–

– существует в силу определения класса функций .

Запишем y(x) в виде:

,

где – погрешность интерполяции в точке . Очевидно по условию, что .

Отсюда следует, что погрешность (остаточный член) интерполяции можно искать в виде:

,

где r – некоторая функция.

Зафиксируем точку и рассмотрим вспомогательную функцию

,

(11)

где t – свободная переменная.

Положим в (11) t=x.

.

Т.е. функция обращается в 0 в точке t=x. Положим далее последовательно Получаем:

.

Т.о. мы получили, что на отрезке функция обращается в 0 ровно в (n+2) точках. Отсюда по теореме Ролля следует, что на интервале (a,b)

• существует, по крайней мере, (n+1) точка, в которой обращается в 0;

• существует, по крайней мере, n точек, в которых обращается в 0;

• …………………………

• существует, по крайней мере, 1 точка , в которой обращается в 0.

Продифференцируем формулу (11) по t n+1 раз и положим . Получим:

.

(12)

Учтем, что , т.к. степень полинома равна n. Далее получаем:

,

т.к. - многочлен -ой степени специального вида с коэффициентом при старшей степени, равным 1.

Подставляя эти результаты в (12), получаем:

,

откуда следует

.

Подставляя в выражение для , получаем

,

откуда следует формула (8). Оценки (9), (10) вытекают из (8) автоматически.

Пример 8. Пусть , . Построить интерполяционный полином Лагранжа L₂(x) по узлам и оценить погрешность интерполяции в точке x=116 и на всем отрезке [a,b].

Построение полинома Лагранжа (соответствует квадратичной интерполяции) – отложим на семинарское занятие. Оценим погрешность интерполяции. Очевидно, что заданная функция дифференцируема на любое число раз. Нам достаточно оценить 3-ю производную.

Последовательно дифференцируя , получаем:

.

Подставляя в формулу (9), получим:

.

Оценим погрешность в точке x=116:

, откуда следует

.

Оценку на всем отрезке предлагается вычислить на семинаре.

Приведем еще одну форму записи интерполяционного полинома:

((10

Требования совпадения значений полинома с заданными значениями функции в узлах сетки приводит к системе линейных уравнений с треугольной матрицей для искомых коэффициентов :

((11

Полученная система легко решается, начиная с . Построенный в такой форме интерполяционный полином называется интерполяционным полиномом Ньютона. Далее будут рассмотрены частные виды полинома Ньютона для сетки равноотстоящих узлов.