Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).

4.1. Численное дифференцирование на основе интерполяции.

Если функция задана таблично, то аналитическое дифференцирование невозможно. Строится интерполяционный полином и его производную принимают приближенно за .

Запишем 1-ую форму интерполяционного полинома Ньютона на равномерной сетке:

,

(1)

где .

- погрешность интерполяции.

Дифференцируя (1), получим:

,

где

-

- формула теоретической погрешности производной в точке .

Пример 1. Пусть . Вычислить приближенно первую производную и оценить погрешность (теоретическую).

На данной сетке получаем: .

Интерполяционный полином третьего порядка имеет вид:

;

;

.

4.2. Численное дифференцирование на равномерной сетке.

Пусть задана сетка .

Теорема 4.1. Обозначим и т.д. и пусть , тогда существует такая точка , для которой справедлива формула:

(2)

Т.к. , то справедливо разложение Тейлора с центром в точке и остаточным членом в форме Лагранжа:

.

В точке получаем:

,

откуда следует

,

что и требовалось доказать.

Теорема 4.2. Пусть тогда

.

(3)

Самостоятельно. См. ход доказательства следующей теоремы .

Теорема 4.3. Пусть , тогда существует такая точка , что справедлива формула

.

(4)

По условию теоремы справедливо тейлоровское разложение функции с центром в точке :

, (5)

где . Положим в формуле (5) последовательно и :

Складывая эти две формулы, получим

.

В силу непрерывности четвертой производной :

,

Откуда следует:

, т.е. формула (4) .

Замечание. Формулы (2), (3) и (4) называются формулами численного дифференцирования. При этом формула (2) аппроксимирует первую производную в узле правой конечной разностью и имеет порядок точности (т.е. первый порядок);

формула (3) аппроксимирует первую производную центральной конечной разностью и имеет порядок точности (второй порядок);

формула (4) аппроксимирует вторую производную в узле центральной конечной разностью и имеет порядок точности (второй порядок).

4.3. Задача Коши для оду.

4.3.1. Постановка задачи.

Задача Коши для ОДУ первого порядка для функции одной переменной ставится следующим образом:

(6)

Более общая постановка задачи Коши для дифференциального уравнения n-го порядка:

(7)

Здесь - заданные числа (начальные условия).

Задача (7) с помощью замены переменных

,

сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(8)

Систему (8) можно переписать в векторном виде:

,

(9)

где , , .

Система (9) исследуется и решается аналогично одномерной задаче Коши (6), поэтому важно изучить, прежде всего, численные методы решения задачи (6).

В курсе математического анализа формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи Коши. Отметим, что для выполнения теоремы необходимо и достаточно, чтобы функция имела непрерывные частные производные по в замкнутой ограниченной области на плоскости .