3.4. Численные методы решения систем лау.

3.4.1. Прямые методы решения систем лау.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) в стандартной форме:

,

где - матрица , , , .

Если - то решение системы существует и единственно.

Формальное решение системы можно записать по известным формулам Крамера

,

где определители вычисляются по известному правилу.

Однако с вычислительной точки зрения формальное решение не эффективно (хотя и устойчиво) – требует слишком много операций на вычисление определителей (для каждого определителя слагаемых). Это совершенно неприемлемо даже для современных компьютеров уже при . Поэтому используются другие методы численного решения. Эти методы делятся на две большие группы: 1)– прямые методы и 2) – итерационные методы.

Прямые методы основаны на последовательном исключении неизвестных и приведении матрицы A к треугольному виду (метод Гаусса и его модификации, основанные на определенном правиле выбора главного элемента). Эти методы дают решение СЛАУ за конечное число арифметических операций – это их основное преимущество. Число операций, затрачиваемых на приведение системы к треугольному виду и последующее решение пропорционально . Основной недостаток прямых методов – возможно сильное накопление ошибок округлений при делении на малые числа. Кроме того, возможно возникновение так называемой неустранимой погрешности, если система (и соответственно матрица ) плохо обусловлена. Это свойство систем обсуждается далее в п.п.3.4.2.

Итерационные методы более эффективны в вычислении и применяются для разреженных (слабо заполненных) систем порядка и более.

Метод Гаусса обычно изучается в курсе линейной алгебры, и мы его рассматривать не будем. Более подробно рассмотрим итерационные методы. Для тех или иных оценок решения понадобится понятие нормы вектора и нормы матрицы, которые мы и обсудим в следующем параграфе.

3.4.2. Нормы векторов и матриц.

Пусть - вектор-столбец, . Приведем некоторые известные нормы векторов:

1. - эклидова норма вектора;

2. - так называемая -норма, или норма Гильберта-Шмидта (при совпадает с эвклидовой нормой, а при совпадает с так называемой 1-нормой).

3. - чебышевская норма.

Все эти нормы в эквивалентны: сходимость в одной из этих норм влечет за собой сходимость в другой (следствие конечности ).

Перейдем к понятию матричной нормы. Пусть - множество квадратных вещественных матриц порядка . Пусть каждой матрице поставлено в соответствие число . Это число называется нормой матрицы A, если выполняются следующие аксиомы:

1. ;

2. ;

3. - неравенство треугольника;

4. - кольцевое свойство.

Определение 1. Норма называется мультипликативной, если выполняются все четыре аксиомы, и аддитивной, если выполняются только первые три аксиомы.

Определение 2. Если матричная норма удовлетворяет условию

, где ,

(1)

то такая норма называется согласованной с нормой вектора.

Большинство используемых в численном анализе матричных норм согласованы с той или иной векторной нормой.

Определим некоторые наиболее употребительные на практике матричные нормы.

-

- евклидова норма или норма Фробениуса (norm(a,‘fro’) - в MATLAB).

-

- спектральная норма (norm(a)=norm(a,2) в MATLAB),

где - собственные значения симметричной матрицы (сингулярные числа матрицы А). Обе указанные нормы согласованы с эвклидовой нормой вектора .

-

- столбцовая норма (norm(a,1)). (Согласована с векторной нормой ).

-

- строчная норма (norm(a,inf)). (Согласована с ).

Замечание. Из всех приведенных матричных норм, согласованных с евклидовой нормой вектора, спектральная норма принимает минимальное значение.

Определение 3. Число (вообще говоря, комплексное) называется собственным значением матрицы А, соответствующим собственному вектору x, если выполняется условие:

.

(20)

Определение 4. Множество всех собственных чисел матрицы А , записанных с учетом их кратности, называется спектром матрицы А и обозначается S(A).

Определение 5. Спектральным радиусом r(A) квадратной матрицы А называется максимальное по модулю собственное значение матрицы A.

Система (20) эквивалентна следующей однородной системе уравнений:

.

(21)

Как известно из курса линейной алгебры, система (21) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда

.

(22)

Уравнение (22) - алгебраическое уравнение n-ой степени относительно . Все его корни – собственные значения матрицы А.

Определение 6. Сингулярным числом матрицы А называется собственное значение матрицы .

Определение 7. Матрица А называется положительно (неотрицательно) определенной (пишут: или ), если соответствующая квадратичная форма

.

Простейшие следствия из определений.

Следствие 1. (Критерий Сильвестра). все ведущие угловые миноры матрицы А положительны. доказывается в курсе линейной алгебры

Следствие 2. , причем .

следует из критерия Сильвестра.

Следствие 3. все собственные значения . (Для ).

Пусть - собственное значение, соответствующее собственному вектору v. По условию

.

Следствие 4. Пусть А – вещественная матрица матрица .

Имеем: {по свойству скалярного произведения} .

Следствие 5. Сингулярные числа вещественной матрицы А – неотрицательны.

Следует из С.3 и С.4.

Следствие 6. Пусть А – вещественная и симметрическая матрица .

Имеем: .

Следствие 7. Если А – невырожденная матрица собственные значения матриц А и A^-1 взаимообратны.

Пусть результат.