Содержание

Предисловие

Глава 1. Численные методы в теории приближений

1.1. Структура погрешности в численном анализе

1.2. Распространение ошибок в арифметических операциях

1.3. Понятие близости в метрическом пространстве

1.4. Задача интерполяции как простейшая задача приближения функций

1.5. Конечные разности и их свойсва

1.6. Интерполяционный многочлен Ньютона

1.7. Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задаче интерполяции

1.7.1. Основные определения

1.7.2. Простейшие свойства многочленов Чебышева

1.7.3. Применение многочленов Чебышева в задачах интерполяции

1.8. Среднеквадратичное приближение функций

1.8.1. Общая постановка задачи и ее разрешимость

1.8.2. Среднеквадратичное приближение функций алгебраическими многочленами

1.8.3. Среднеквадратичная ошибка аппроксимации полиномами Лежандра

Глава 2. Численное интегрирование.

2.1. Испеользование функциональных рядов

2.2. Квадратурные формулы на основе интерполяции

2.3. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

2.4. Некоторые общие свойства ортогональных с весом полиномов

2.5. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля

Глава 3. Численные методы алгебры.

3.1. Принцип сжатых отображений

3.2. Метод простых итераций для функциональных уравнений

3.3. Метод Ньютона

3.4. Численные методы решения систем ЛАУ

3.4.1. Прямые методы решения систем ЛАУ

3.4.2. Нормы векторов и матриц

3.4.3. Обусловленность матриц и систем уравнений

3.4.4. Итерационные методы решения систем ЛАУ

3.4.5. Стационарные итерационные процедуры

Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

4.1. Численное дифференцирование на основе интерполяции

4.2. Численное дифференцирование на равномерной сетке

4.3. Задача Коши для ОДУ

4.3.1. Постановка задачи

4.3.2. Метод Эйлера и его модификации

4.4. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

4.4.1. Постановка задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка

4.4.2. Метод конечных разностей (метод сеток)

4.4.3. Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем

Литература

УДК 519.6

Предисловие

Пособие подготовлено на основе курса лекций, читаемых автором в течение ряда лет на третьем курсе факультета МП и ТК. Излагаются основные понятия, относящиеся к численным методам решения задач линейной алгебры, математического анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений.

По всем разделам приводятся примеры, иллюстрирующие те или иные теоретические положения или конкретные алгоритмы решения.

Пособие служит теоретической базой курса “ Численные методы” и должно быть дополнено лабораторными работами, проводимыми в компьютерном классе, и практическими занятиями. Лабораторные работы рекомендуется реализовывать в пакете MATLAB для WINDOWS версий не ниже 7.

Пособие может быть полезно как для студентов, так и аспирантов, специализирующихся по широкому профилю технических специальностей вуза.