Практическое занятие 2 Расчет сечений элементов, подверженных поперечному изгибу

Теоретическая часть

Элементы, подверженные поперечному изгибу, проверяются по первой группе предельных состояний на прочность, устойчивость плоской формы деформирования. По второй группе – на прогиб.

Расчет изгибаемых элементов, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования, на прочность по нормальным напряжениям следует выполнять по формуле:

(2.1)

На прочность по скалыванию по формуле:

< R . (2.2)

Расчет на устойчивость плоской формы деформирования (из плоскости изгиба) элементов прямоугольного постоянного поперечного сечения следует выполнять по формуле:

, (2.3)

. (2.4)

На прогиб шарнирно-опертые и консольные изгибаемые элементы постоянного и переменного сечений проверяют по формулам:

f= , (2.5)

f ≤ f_u, (2.6)

где в формулах (2.1 – 2.6): М – расчетный изгибающий момент в проверяемом сечении; Q – расчетная поперечная сила в проверяемом сечении; I_бр – момент инерции брутто поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси; W_расч – расчетный момент сопротивления поперечного сечения элемента.

Для цельных элементов W_расч = W_нт; для изгибаемых составных элементов на податливых соединениях расчетный момент сопротивления следует принимать равным моменту сопротивления нетто W_нт, умноженному на коэффициент k_w, который учитывает податливость связей и для элементов, составленных из одинаковых слоев, принимается по таблице Л.1, приложение Л.

При определении W_нт ослабления сечений, расположенные на участке длиной до 200 мм, принимают совмещенными в одном сечении;

S_бр – статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения элемента относительно нейтрально оси;

b_расч – расчетная ширина сечения элемента в проверяемом сечении;

l_р – расстояние между опорными сечениями элемента, а при закреплении сжатой кромки элемента в промежуточных точках от смещения из плоскости изгиба – расстояние между этими точками;

b – ширина поперечного сечения;

h – максимальная высота поперечного сечения на участке l_р;

k_ф – коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке l_р, принимается по таблице Л.2, приложение Л;

R_и*, R*_ск – расчетные сопротивления материала, соответственно, изгибу и скалыванию (вдоль волокон), с учетом необходимых коэффициентов условий работы;

f₀ – прогиб балки постоянного сечения высотой h без учета деформаций сдвига (определяется по формулам сопромата);

h – наибольшая высота сечения;

l – пролет балки;

k – коэффициент, учитывающий влияние переменности высоты сечения, принимаемый равным 1 для балок постоянного сечения;

с – коэффициент, учитывающий влияние деформаций сдвига от поперечной силы.

Значения коэффициентов k и с для основных расчетных схем балок приведены в таблице Л.3, приложение Л.

При расчете изгибаемых элементов по формулам (2.3 и 2.4), с линейно меняющейся по длине высотой и постоянной шириной поперечного сечения, не имеющих закреплений из плоскости по растянутой от момента М кромке, или при наличии таких подкреплений при m < 4, коэффициент φ_М по формуле (2.4) следует умножать на дополнительный коэффициент k_жМ. При k_жМ=1. При подкреплении из плоскости изгиба в промежуточных точках растянутой кромки элемента на участке l_р коэффициент φ_м, определенный по формуле (2.4) следует умножать и на коэффициент k_пМ (формула (24), [4]). Значения k_жМ приведены в таблице Л.2, приложение Л.

f_u – нормируемая величина прогиба определяется в соответствии с требованиями п. 10, таблица 19 [5].

Пример 2.1

П роверить прочность, устойчивость плоской формы деформирования и прогиб балки цельного прямоугольного сечения (рисунок 2.1) со следующими исходными данными: расчетная нагрузка q = 12кН/м; нормативная q^н = 10 кН/м; расчетный пролет l = 4200 мм; вылет консоли a = 900 мм; высота поперечного сечения h = 250 мм; ширина поперечного сечения b = 150 мм; материал – кедр сибирский; сорт древесины – 1; условия эксплуатации – Б 1.

Рисунок 2.1 – Схема балки и сечение

Решение

Предварительно найдем внутренние усилия и геометрические характеристики сечения:

; ;

(ослаблений нет);

;

R_и =16 МПа = 1,6 кН/см²; R_ck =1,8 МПа = 0,18 кН/см² по таблице А.1, приложение А:

;

Проверки прочности:

Прочность обеспечена.

Выполним проверку устойчивости плоской формы деформирования.

Т.к. условиями задачи не оговорены закрепления сжатой кромки балки в промежуточных точках от смещения из плоскости изгиба, то для расчета принимаем l_р, в соответствии с формулой (2.4):

– для пролета:

– для консоли:

Коэффициент k_ф = k_фпр = 1,13 – для пролета, k_ф = k_ф0 = 2,54 – для консоли (таблица Л.2, приложение Л).

Коэффициент φ_М:

– для пролета: ;

– для консоли:

Максимальный изгибающий момент М на рассматриваемом участке l_р:

– для пролета:

М = М_пр = 21,6 кН·м;

– для консоли:

М = М_оп = 4,86 кН·м.

По формуле (2.3) проверяем при W_нт = W_бр:

– для пролета:

– для консоли:

Устойчивость плоской формы деформирования обеспечена.

Полный прогиб без учета деформаций сдвига:

– на консоли

– пролетный

где Е=10000 МПа=1000 кН/см² (приложение Б*).

Полный прогиб с учетом деформаций сдвига определяем с учетом коэффициента с по таблице Л.3, приложение Л.