4.2. Геометрические и физические приложения тройных интегралов.

1. Объем тела:

2. Масса тела с переменной плотностью µ(x,y,z):

3. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей:

4. Координаты центра масс тела:

5. Моменты инерции относительно осей координат:

Пример: найти объем тела ограниченного сферой

и параболоидом

Рис. 4.9 Рис. 4.10

Решая совместно заданные уравнения поверхностей, получим, что поверхности пересекаются при z=a по кругу радиуса . Используем цилиндрические координаты: .

Уравнение верхней половины сферы в цилиндрической системе

координат

Уравнение параболоида:

Тогда

Пример: найти массу пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью , если плотность тела µ=х.

Пирамида снизу ограничена плоскостью z=0, а сверху плоскостью z=6-2x-2y. Поэтому достаточно начертить одну проекцию на плоскость XOY.

Рис. 4.11

Вычисление проводим в декартовой системе координат.

Пример: найти моменты инерции однородного (µ=k=const) цилиндра относительно диаметра основания и оси.

Если система координат введена так, как показано на рисунке 4.12 , то мы должны найти

Рис. 4.12

Вычисляем интегралы в цилиндрической системе координат.

Пример: найти координаты центра тяжести половины шара радиуса R, если плотность пропорциональна расстоянию от центра шара. Т.к. тело является частью сферы, то вычисления будем вести в сферической системе координат.

Плотность , где к – коэффициент пропорциональность. В сферической системе координат все пределы интегрирования будут константами:

Тогда

Если все пределы интегрирования константы, а подынтегральная функция является произведение функций, т.е. , то тройной интеграл можно представить как произведение трех определенных интегралов.

Вычисляем статические моменты:

Т.к. , следовательно, , что очевидно и без вычислений.

Тогда

5. Криволинейный интеграл I рода.

Пусть АВ – дуга кусочно-гладкой пространственной кривой, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(x,y,z). Разбивая дугу на части ∆l_i и выбирая в каждой части произвольную точку M_i(x_i ,y_i ,z_i), вычислим значение f(M_i). Умножим это значение на длину элементарной дуги ∆l_i . Сложим все произведения, и найдем предел этой суммы при условии, что наибольшая из элементарных дуг max ∆l_i→0, а их число n→∞.

lim f(x,y,z)dl (5.1)

max∆l_i→0

При непрерывности функции f(x,y,z) на дуге АВ этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги на части. Этот предел называется криволинейным интегралом I рода. Физическая интерпретация криволинейного интеграла первого рода (5.1) - масса кривой АВ. Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями: x=X(t), y=Y(t),z=Z(t), где t_А≤ t ≤ t_B, то

f(x,y,z)dl= · dt.

Если кривая АВ задана на плоскости уравнением y=f(x) при a≤x≤b, то

f(x,y)dl= · dx.

5.1. Задачи на механические приложения криволинейного интеграла.

С помощью криволинейного интеграла I рода можно вычислить:

а) массу кривой

m= , где - плотность

б) статические моменты относительно координатных осей для плоской дуги

M_x = M_y=

в) статические моменты относительно координатных плоскостей для пространственной дуги

M_xoy= M_yoz=

M_xoz=

г) моменты инерции относительно координатных осей плоской дуги

J_x= J_y=

д) координаты центра тяжести

x_c= y_c= z_c=

Пример: вычислить интеграл

²ydl, где ﮞАВ – часть окружности + = , лежащая в первой четверти.

Тогда y= . Найдем дифференциал дуги dl= dx

y′=- ; = ; 1+ 1+ =

Тогда dl= dx

²ydl= dx=R dx=

Пример: вычислить dl, где АВ - дуга кубической параболы y=x³ от точки (1;1) до точки (2;8)

Найдем дифференциал дуги dl= dx

y′=3x²; 9x⁴; 9x⁴;

Тогда dl = dx

d l= dx = dx- =J₁-J₂

J₁₌ dt

= · = ·( - )

J₂= =

=

J₁-J₂= ·( - )-

Пример: найти массу одной арки циклоиды, считая плотность постоянной, равной единице.

x=a(t- ); y=a(1- ); 0≤t≤2π

Найдем дифференциал дуги

dl= =a(1- ); =a ;

+ =a²(1+2 + + = a²(1+2 +1)=

a²(2+2 )=2 a²(1+ )=4 a²

Тогда dl=2a dt

m= =-4a =-4a(-1-1)=8a

Пример: найти массу дуги однородной пространственной кривой

(a>0)

от точки О(0,0,0) до точки А(x₀, y₀, z₀).

Если в задаче сказано, что дуга однородная, принимаем плотность f(x,y,z)=const=1.

Найдем массу дуги по формуле m= при dl=

dl= = dx=

m= = ·

= = =

Пример: найти статический момент относительно плоскости XOY части

однородной конической винтовой линии.

x=t ∙cos t, y= t∙ sin t, z=t при 0≤t≤t0

M_xoy=

dl=

₌ (tcos(t))′=t′cos(t)+t(cos(t))′=cos(t)-tsin(t)

=(tsin(t))′=t′sin(t)+t(sin(t))′=sin(t)+tcos(t)

dl= dt=

= =

= dt= dt

f(x,y,z)=const=1

M_xoy= = dt= =

= = dx= = ( )= ( - )

Пример: найти центр тяжести однородной дуги.

(-∞< t ≤ 0)

Примем плотность f(x,y,z)=const=1

m= dl

dl=

ẋ= - = (cost-sint)

ẏ= + = (sint+cost)

ż=

dl= dt=

= dt

m= = = ( - )=

M_yoz=

M_yoz= *costdt= *costdt= ( (sint+2cost) =

= * *2=0.4

При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям”

*costdt dt =

= *cost-4 *costdt

5 *costdt= *cost

*costdt=

M_zox=

M_zox= *sintdt= ( (cost-2sint) =

= *( - )*1=- 0.2

При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям”

*sintdt =- *cost 2 + =

=- *cost+2 *sint- 4 *costdt

5 =- *sint+2 *cost

=-

M_xoy=

M_xoy= dt= = = * =0.5

Координаты центра тяжести:

x_ц.т.= = =0.4

y_ц.т.= = =-0.2

z_ц.т.= = =0.5