4.1 Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Наиболее
часто используемыми криволинейными
координатами являются цилиндрические
координаты (φ,ρ,z)
(рис.4.1)
Рис. 4.1
Рис.4.2
Связь декартовой и цилиндрической систем координат:
(4.1)
В отдельных случаях, особенно если пространство “V” ограничено сферой с центром в начале координат или сферой и конусом, с вершиной в начале координат, используется сферическая система координат (φ,θ,r) рис.4.2.
Связь сферической и декартовой систем координат:
(4.2)
Пример: расставить пределы интегрирования по области “V” в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат, если область “V” ограничена поверхностями:
Для
того, чтобы расставить пределы
интегрирования, необходимо начертить,
как минимум, две проекции, одну на
вертикальную плоскость XOZ
или YOZ
и другую на горизонтальную- XOY.
Начать всегда рекомендуется с вертикальной
проекции, т.к. в задачах, в основном,
встречаются тела вращения, проекция
которых на горизонтальную плоскость
XOY
– окружности. Т.к. в данной задаче в
уравнении конуса коэффициенты при 
одинаковые (единицы), то это круговой
конус. Коэффициенты у 
и, соответственно, у 
тоже одинаковые (единицы), следовательно,
образующие конуса расположены под углом
Рис. 4.3 Рис. 4.4
Уравнения
параболоида 
,
т.е. вершина параболоида находится на
оси OZ
в точке (0;0;1). Для проекции на плоскость
ZOX
находим точки касания (или пересечения)
образующих конуса и соответствующей
параболы.
,
тогда 
Т.е.
касание происходит при z=2.
Тогда радиус круга (проекция на XOY)
R=2.
Т.к. 
,
то проекцией на XOY
будет являться четверть круга 
находящаяся в IV
четверти: 
.
А так как поверхности пересекаются
только при z
> 0, для параболоида
,
для конуса z=√x²+
y²
Декартовая система координат:
В
цилиндрической системе (как в полярной
на плоскости) 
(IV
четверть) уравнение окружности
,
т.е. ρ=2. Конус 
в цилиндрической системе координат 
.
Интеграл по заданной области “V” в цилиндрической системе координат
В
сферической системе угол 
тот же, что и в цилиндрической, т.е.
.
Угол 
– угол в проекции на вертикальную
плоскость между конусом и параболоидом,
т.е. 
Т.к. в этом диапазоне углов на вертикальной проекции находится только параболоид, то уравнение параболоида в сферической системе координат:
,
т.к. 
,
то
,
или 
Решая это квадратное уравнение относительно r, получим
т.к. при
функция 
растет, а функция 
убывает, то выражение под корнем 
.
Т.к.
,то
упростим подкоренное выражение 
.
Тогда
и 
В сферической системе координат интеграл примет вид:
Пример:
область “V”
ограничена поверхностями: 
.
Поверхность
– параболоид с вершиной в точке (0;0;-4).
Начинаем построение проекции с проекции
на вертикальную плоскость ZOX.
На плоскость горизонтальную XOY
поверхность проектируется кругом (при
z=5),
радиуса R=3.
Область расположена во II
квадранте.
Декартовая система координат:
Цилиндрическая система координат: параболоид в цилиндрической системе:
Рис. 4.5 Рис. 4.6
В
принятой сферической системе координат
изменение угла 
,
поэтому находим угол
,
расположенный в правой полуплоскости:
т.е. 
Параболоид в сферической системе координат:
;
;
,
тогда 
, т.к. 
то выбираем 
.
В
сферической системе интеграл разбивается
на два, т.к. до
область ограничена (на проекции ZOX)
параболой, а при 
область ограничена z=5
(в сферической системе 
,
т.е. 
)
Пример:
расставить пределы интегрирования по
области “V”,
ограниченной поверхностями: 
;
;
x=0;
y=0;
z=0
для 
(внутри цилиндра)
– цилиндрическая поверхность с образующей параллельной оси OZ. Проектируется на плоскость XOY окружностью радиуса R=1
– параболоид вращения с вершиной в точке (0;0;2)
Рис. 4.7 Рис. 4.8
Декартовая
система координат: 
В
цилиндрической системе координат
параболоид 
имеет уравнение 
.
Тогда
В сферической системе координат интеграл разбивается на два. Уравнение параболоида примет вид:
;
Решаем квадратное уравнение относительно параметра r
Тогда
Параболоид
пересекается с цилиндром при z=1
поэтому в первом интеграле 
.