3.3. Замена переменной в двойном интеграле. Полярная система координат.

Замена переменной в интеграле состоит в переходе от переменных x и y к новым переменным u и v, связанных соотношениями

x= X (u, v), y = Y (u,v), (u,v) D. (3.4)

При выполнении условий, что отображение (3.4) взаимно однозначно, а функции в соотношении (3.4) непрерывно-дифференцируемы, то якобиан отображения – определитель, составленный из первых частных производных:

тогда имеет место формула:

(3. 5)

Обычно замена переменных производится с целью упрощения области интегрирования. Соотношения (3.4) называют переходом от прямоугольных декартовых координат к криволинейным. Примером криволинейных координат являются полярные координаты, связанные с прямоугольными формулами:

, , , (3.6)

;

_{В полярных координатах полюс совпадает с началом координат, полярная ось – с положительным направлением оси Ох, угол φ (положительный) отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.}

Якобиан преобразования равен:

Если D = , то

(3.7)

Пример: построить область интегрирования и перейти к полярной системе координат

Порядок интегрирования соответствует формуле (3.1):

; верхняя граница

Возводя в квадрат правую и левую части и дополняя до полного квадрата разности, получили уравнение окружности

с центром (

т.к. в верхнем пределе перед корнем нет знака, то приписывается знак плюс. Т.е. верхняя граница области D – верхняя часть окружности

Нижняя граница:

Переносим в левую часть и возводим правую и левую часть в квадрат

Получили уравнение окружности

с центром радиуса

Рис. 3.8

Область интегрирования D - область между двумя выше указанными окружностями. Точка пересечения A ( ). Вся область D находится в первом квадранте, следовательно , но область ограничена двумя разными окружностями. Проведем луч из начала координат в точку А. Тогда область разделится на две части.

, следовательно, . Тогда в полярной системе координат область интегрирования и сам двойной интеграл разбиваются на две части: 0≤φ≤π/6 и π/6≤φ≤π/2.

Окружность в полярной системе примет вид

Окружность в полярной системе примет вид

Студентам рекомендуется запомнить следующее правило. Если центр окружности сдвинут по оси Ох вправо, ровно на радиус окружности R, то в полярной системе координат уравнение такой окружности , если влево на радиус, то . Если центр окружности сдвинут на радиус по оси Оy вверх – уравнение окружности в полярной системе , если же центр окружности сдвинут ровно на радиус вниз, то . Это правило легко выводится из соотношений (3.6).

Окончательно в полярной системе координат двойной интеграл примет вид:

I=

Пример: начертить область на которую, распространяется двойной интеграл, изменить порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат.

Рис. 3.9

Уравнение нижней окружности:

Уравнение верхней окружности: x²+y²=2. В декартовой системе координат заданный интеграл примет вид:

порядок интегрирования изменен, где (нижний предел интегрирования во внутреннем интеграле).

Используя вышеприведенное правило в полярной системе координат при

π≤φ≤7π/6 двойной интеграл примет вид:

- двойной интеграл в полярной системе координат.