. Несобственные интегралы от неограниченных на отрезке [a, b] функций.
Несобственные интегралы от неограниченных на отрезке [a,b] функций называются несобственными интегралами 2 – ого рода.
Пусть функция f(x) непрерывна на [ a ; b) и не ограничена вблизи “b ”.
Если f(x) непрерывна на ( a ; b ] , но не ограничена вблизи “ a ” , тогда
Если функция непрерывна на (a ,b) но не ограничена вблизи и точек а и b, то несобственный интеграл 2-ого рода определяется равенством:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a ; b] всюду, кроме некоторой точки “ с ”, где a < c < b и не ограничена вблизи “ c ” , то
Пример: вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Точка x = 0 – точка разрыва подынтегральной функции.
Пример: вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
( Точка x = 1 – точка разрыва подынтегральной функции ε > 0 ; ε → 0 ).
Пример: вычислить интеграл или установить его расходимость.
Пример: вычислить интеграл или установить его расходимость.
Точками разрыва подынтегральной функции являются и верхний и нижний пределы интегрирования. Решаем интеграл методом разбиения подынтегральной функции на элементарные дроби 1 – ого рода.
Разность логарифмов равна логарифму частного, т.е. I=1/2 lim ln(ε²/(2-ε)²)=∞.
Признак сравнения для несобственных интегралов 2 – ого рода.
Пусть
функции f(x)
и g
(x)
интегрируемы по любому отрезку
[ a+
ε;
b]
(0 < ε
< b
-
a)
и при x
> a
удовлетворяют неравенствам
.
Тогда:
В качестве “стандартного” интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа
Этот интеграл сходится, если p < 1 , и расходится, если p ≥ 1 :
Если функция f(x) неограниченно возрастает при x→ b , то в качестве “стандартного” рассматривается интеграл
Пример: исследовать на интеграл на сходимость.
от
большей функции сходится, то данный
интеграл сходится; p
=
<1 .
Пример: исследовать интеграл на сходимость.
Так
как p
=
<1 , то интеграл сходится.
Пример: исследовать интеграл на сходимость.
Так
как p
=
1
, то, следовательно, интеграл расходится.
2.Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Индивидуальные домашние задания студентов по теме «Функции многих переменных» (ФМП), как правило, содержат следующие задания:
задачи на дифференцирование сложных ФМП;
задачи на дифференцирование функций, заданных неявно;
нахождение производной от ФМП по заданному направлению;
нахождение уравнений касательных плоскостей и нормалей для
функций заданных явно и неявно;
задачи на экстремум функций нескольких переменных.
В основе всех перечисленных задач лежит умение правильно находить
частные производные. Частной производной функции двух переменных z=f(x,y) по переменной x называется предел отношения приращения функции (при условии, что изменяется только переменная x , а y=const)
∆zx =f(x+∆x,y) – f(x,y) к приращению аргумента ∆х (при ∆х→0). При условии, что этот предел существует и конечен. Обозначения: ∂z/∂x =∂ƒ/∂x =z΄x=ƒ΄x .
Аналогично, для функции двух переменных z=ƒ(x,y) частная производная по аргументу y: ∂z/∂y = ∂ƒ/∂y = z΄y = ƒ΄y (при x=const). Если у функции ∂z/∂x существует частная производная снова по переменной x (y=const), то ее называют частной производной второго порядка от функции ƒ(x,y) по переменной x и обозначают ∂²z/∂x². Таким образом, по определению ∂²z/∂x²=∂(∂z/∂x)/∂x. Если существует частная производная от функции ∂z/∂x по переменной y, то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции ƒ(x,y) и обозначают символом ∂²z/∂x∂y = z΄΄xy. Теорема (о смешанных производных). Пусть функция z=ƒ(x,y) определена вместе со своими частными производными ∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂²z/∂x∂y, ∂²z/∂y∂x в некоторой окрестности точки Po(xo,yo), причем ∂²z(Po)/∂x∂y и ∂²(Po)/∂y∂x непрерывны в точке Po, тогда ∂²z/∂x∂y = ∂²/∂y∂x, т.е. смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования.
Пример: найти ∂²z/∂x∂y и ∂²z/∂y∂x, если z=x²+y²+x∙y.
Найдем первую частную производную ∂z/∂x =2x+y, при дифференцировании брали производные только от первого и третьего слагаемых, т.к. аргумент x, по которому производилось дифференцирование, находится только в этих слагаемых. При этом аргумент y = const. Алогично, ∂z/∂y = 2y + x при x=const. Тогда, используя аналогичные правила ∂²z/∂y∂x =∂(2x+y)/∂y =1 и ∂²z/∂x∂y = ∂(2y+x)/∂x =1, т.е. смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.
Пример: найти смешанные частные производные, если z=y²+cos(x∙y). Найдем первые частные производные ∂z/∂x = -sin(x∙y)∙y, ∂z/∂y =2y -sin(x∙y)∙x. При повторном дифференцировании первой из частных производных теперь по аргументу y, используем формулу дифференцирования произведения (u∙v)΄=u΄v+v΄u. Тогда ∂²z/∂y∂x =-cos(x∙y)∙yx –sin(x∙y). При повторном дифференцировании первой частной производной ∂z/∂y по переменной x, учтем, что при этом y=const, тогда ∂²z/∂x∂y = -cos(x∙y)∙xy –sin(x∙y), т.е. вторые смешанные производные равны между собой.
Таблица производных и все правила дифференцирования для частных производных остаются теми же, что и для функции одного переменного.