6. Поверхностный интеграл первого рода

П усть S – поверхность в трёхмерном пространстве Оxyz, а F(x,y,z) непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS₁, ΔS₂, ...., ΔS_i, ..., ΔS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис.6.1). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами S_i(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков через  λ. На каждом "элементарном" участке ΔS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i,y_i,z_i) (i = 1,...,n) и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔS_i и от выбора точек M_i  ΔS_i(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции F(x,y,z) по поверхности S и обозначается

Если поверхность S задана уравнением  z= f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные  f'x(x,y) и  f'y(x,y) непрерывны в замкнутой области  координатной плоскости Oху, а функция F(x,y,z) непрерывна на S, то интеграл

существует.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам. Пусть выполнены все условия, приведенные выше, тогда, обозначив проекцию ΔS_i (и площадь проекции) на плоскость Oxy через ΔD_i, по теореме о среднем будем иметь:

где (x_i, y_i)   ΔD_i, а, следовательно,

при данном выборе точек M_i. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

Переходя к пределу, получаем:

Свойства поверхностного интеграла первого рода

1. Если положить F(x,y,z)=1, то интеграл будет численно равен площади поверхности S.

2.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

3.Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых.

4.Если область S состоит из 2-х частей, описываемых разными уравнениями, то

5.Если F(x,y,z)≥φ(x,y,z) то

6.

6.2. Задачи на механические приложения поверхностного интеграла 1-ого рода.

1.Если F(x,y,z) - плотность вещества, то масса поверхности S

2.Если F(x,y,z)=1, то интеграл численно равен площади поверхности S.

3.Статистические моменты относительно координатных плоскостей

4.Моменты инерции относительно координатных осей

5.Моменты инерции относительно координатных плоскостей

6.Координаты центра масс

Пример: вычислить поверхностный интеграл

г де S - поверхность конуса

при 1≤ z ≤2 (рис.6.2)

Очевидно, что поверхность S проектируется на плоскость Oxy в кольцо D: 1 ≤x²+y² ≤2

В области D функция

и её производные

и

непрерывные функции.

Следовательно,

Пример: вычислить поверхностный интеграл I рода.

где S – часть плоскости x+y+z=1,лежащая в I октанте.

z=1-x-y, z_x’=-1; z_y’=-1

рис.6.3.

Пример: найти массу поверхности полусферы

если в каждой её точке поверхностная плоскость вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz.

Имеем

и, следовательно,

x²+y²≤4 – переходим в полярную систему координат

Масса поверхности полусферы равна .

Пример: найти моменты инерции однородной треугольной пластины x+y+z=1 при (x≥0;y≥0;z≥0) относительно координатных плоскостей.

Моменты инерции относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам:

где µ - плотность пластины (у однородной пластины µ=1).

рис.6.4.

Моменты инерции равны между собой, т.к. пластина расположена симметрично относительно осей координат в первом октанте.

Таблица производных

(u+v-w)′=u′+v′+w′ c′=0 x′=1

(u·v)′= u′v + v′u

(c·u)′= c·u′

′=

(uⁿ)′_x= n·u^n-1·u′_x (xⁿ)′= n·x^n-1

( )′= ( )′=

′= - ′= -

(a^u)′_x= a^u·lna·u′ (a^x)′= a^x·lna

(e^u)′= e^u·u′ (e^x)′= e^x

(lnu)′= (lnx)′=

(log_au)′= (log_ax)′=

(lgu)′= (lgx)′=

( )′_x= ·u′ ( )′=

( ′_x=- ·u′ ( )′= -

(tgu)′= (tgx)′=

(ctgu)′= - (ctgx)′= -

(arccosu)′_x= - (arccos x)′= -

(arcsinu)′_x= (arcsin x)′=

(arctgu)′_x= (arctgx)′=

(arcctgu)′_x= (arcctgx)′= -

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
1		Подстановка φ(x)=t
2		Интегрирование по частям =f(x)φ(x)- Метод интегрирования по частям применяется, например, к интегралам вида , где p(x) – многочлен, eax;cos ax;sin ax;lnx;arctg x;arcsin x и т.п.,а также к интегралам от произведений показательной функции на косинус или синус.
3	(x)dx	Сводится к интегрированию произведения (x)φ(x) с помощью формулы кратного интегрирования по частям: (x)dx= =f(x) -f′(x) + +f′′(x) (x)-… …+(-1)n-1f(n-1)(x)φ(x)+ +(-1)n
4	pn(x)dx	Применяя формулу кратного интегрирования по частям, получим pn(x)dx= +C
5	P3-4q<0	Подстановка x+ =t

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
6	In=	Применение рекуррентной формулы In= + In-1
7	dx, где -правильная рациональная дробь, Q(x)=(x-x1)′(x-x2 ... …( +px+q …	Подынтегральную дробь представляют в виде суммы простейших дробей = + +…+ + + + +… +…+ + +…+ +…
8	,…, )dx, где R-рациональная функция своих аргументов	Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой x= , где k – общий знаменатель дробей ,…,
9	dx	Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой =
10	dx	Подстановкой x + =t интеграл приводится к сумме двух интегралов dx=M1 + +N1 Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции, а второй интеграл – табличный.

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
11	)dx, где R –рациональная функция от x и	Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановками Эйлера = t±x (a>0), =tx± (c>0) =t(x- ) (4ac- ), где - корень трехчлена Для вычисления указанного интеграла применяются также тригонометрические подстановки: x+ = (a<0, 4ac-b2<0) x+ = (a>0, 4ac-b2<0) x+ = (a>0, 4ac-b2>0)
12	dx где - многочлен степени n	Записываем равенство =Qn-1(x) + +k , где Qn-1(x)- многочлен степени n-1 Дифференцируя обе части этого равенства и умножая на , получим тождество )= Qn-1(x)( + + Qn-1(x)(2ax+b)+k Которое дает систему n+1 линейных уравненений для определения коэффициентов многочлена Qn-1(x) и множителя k. Интеграл же берется методом, указанным в п.10 (M=0;N=1)
№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
13		Этот интеграл приводится подстановкой = к интегралу рассмотренному выше.
14	(a+b )pdx, Где m,n,p-рациональные числа (интеграл от биноминального дифференциала)	Интеграл от биноминального дифферециала выражается через элементарные функции только при выполнении одного из следующих условий: если p-целое число если – целое число если + p – целое число 1-й случай а)если p-целое положительное число,то нужно раскрыть скобки (a+b )p по биному Ньютона и вычслить интегралы от степеней; б)если p- целое отрицательное число, то подстановка x = , где k – общий знаменатель дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби; 2-й случай если - целое число, то применяется подстановка a+b =tk, где k – знаменатель дроби p; 3-й случай если - целое число, то применяется подстановка a+b = tk, где k – знаменатель дроби p;
15		Универсальная подстановка tg =t Если R(- = - R( , то подстановка =t. Если R( ,то подстановка =t. Если R( ,то подстановка =t.

№ п\п	Вид интеграла	Метод интегрирования
16	R(sh x, ch x)dx	Применяется подстановка th =t. При этом sh x= ;ch x= ;dx=
17		Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул: = = = = =
18	, где m и n – целые числа	Если m-нечетное положительное, то подстановка =t. Если n-нечетное положительное, то подстановка =t. Если m+n-четное отрицательное, то подстановка tgx=t. Если m и n –четные неотрицательные, то применяют формулы: = ; =
19	, (0<x< ) p и q- рациональные числа	Подстановкой =t приводится к интегралу от биноминального дифференциала =tp(1-t2 dt
20	)dx	Постановка преобразуется в интеграл от рациональной функции.

Варианты заданий на несобственные интегралы и ФМП

Вариант № 1

1. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

2. Найти производную ∂z/∂x , если

3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали в (.) M(1;1)

Z=2

4. Исследовать функцию на экстремум

f( )= +5 +3 + + -2 -10 -6

Вариант № 2

1. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

2. Найти производную ∂z/∂φ , если z= y-x

3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали в (.) M(1;0)

Z=

4. Найти производную функции

Z= -xy-2 в точке P(1;2) в направлении, составляющем с осью

ОХ угол в

Вариант № 3

1. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

2. Найти производную , если

-2 y+ + -y=0

3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали в (.) M(1;1)

Z= +xy+ -6x-9y

4. Найти точки локального экстремума функции

f(x,y)= +xy+ -3x-6y

Вариант № 4

1. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

2. Найти , если

- + =-1

3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали в (.) M(1;-2)

z=1+ +

4. Найти производную функции

z= -2 +x +1

в точке M(1,2) в направлении, идущем от этой точки к точке N(4,6)

Вариант № 5

1. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

dx

2. Найти ∂z/∂φ, если

z= ,

3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали в

(.) M(2;1;2)

13-4z= + -x-2y

4. Найти точки локального экстремума функции

u(x,y)= + +y

Вариант № 6

1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

2. Найти , если z= ,

3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали в

(.) M(2;1;1) к поверхности

xyz=2

4. Найти производную скалярного поля

u=xy- в точке M (-4;3;-1) по направлению вектора

=5 + -

Вариант № 7

1. Исследовать несобственный интеграл на сходимость

2. Найти , если z= , а u= , v=

3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали в

(.) M(1;1) к поверхности

z= +3

4. Исследовать функцию u(x,y)= + -3xy+2 на экстремум.

Вариант № 8

1. Исследовать несобственный интеграл на сходимость

2. Найти , если z= ,

3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали

к поверхности 2 +2 +z=5 в (.) M (1;1;1)

4. Найти производную скалярного поля

u(x,y,z)= y- в точке M(1;5;-2) в направлении вектора

=2 -2

Вариант № 9

1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

2. Найти , если u= , где x= y=

3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z=arctg в точке M(1;1; )

4. Найти точки экстремума функции

z= +xy+ +x-y+1

Вариант № 10

1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

2. Найти производную из равенства + + =

3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности - + =4 в точке M (1;1;-2)

4. Исследовать функцию на экстремум

f(x,y,z)=4xy+4yz-5 -6 -4 -x+6y

Вариант № 11

1. Исследовать интеграл на сходимость

dx

2. Найти и , если z= , y=arctg

3. Найти производную функции u(x,y,z)=xy+yz+zx в точке M (2;1;3)

в направлении вектора , если N (5;5;15)

4. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:

7 -4 +4 =7 в точке M(1;1;1).

Вариант № 12

1. Вычислить интеграл или установить его расходимость

2. Найти и , если z= y и y=

3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z=1+ + в точке M (1;1;3)

4. Исследовать функцию на экстремум f(x,y,z)=xy+yz+xz+x-y+z

Вариант № 13

1. Исследовать интеграл на сходимость

dx

2. Найти , если + )=a

3. Найти производную скалярного поля u(x,y,z)=ln( + )+xyz

в точке M (1;-1;2) по направлению вектора = - +5

4. Найти уравнения касательной плоскости и нормали поверхности:

z= + -4 в точке M (-2;1;1)

Вариант № 14

1. Вычислить интеграл или установить его расходимость

2. Найти и , если z=x+arctg

3. Найти точки локального экстремума функции

u(x,y)=xy+ +

4. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:

+ - =-1 в точке M (2;2;3)

Вариант № 15

1. Исследовать интеграл на сходимость

2. Найти из равенства -2 y+ + -y=0

3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:

-4 в точке M (2;1;4)

4. Найти производную скалярного поля

u(x,y,z)= - arctg(y+z) в точке M (2;1;1) в направлении вектора

=3 -4

Варианты заданий на двойные и тройные интегралы

Вариант № 1

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

3. Найти объем тела, заданного неравенствами:

4. Найти моменты инерций относительно координатных осей одного витка однородной винтовой линии

Вариант № 2

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

4. Найти координаты центра тяжести однородной дуги:

Вариант № 3

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти объем тела, заданного поверхностями:

4. Найти массу дуги однородной пространственной кривой:

от точки до точки

Вариант № 4

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

4. Найти массу полусферы плотность которой в каждой её точке равна

Вариант № 5

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

4. Найти статические моменты однородной треугольной пластинки относительно координатных плоскостей.

Вариант № 6

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

(внутри цилиндра), для

3. Пластина D задана неравенствами:

µ- поверхностная плотность,

Найти массу пластины.

4. Найти массу дуги кривой плотность которой меняется в соответствии с формулой

Вариант № 7

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

4. Определить центр тяжести дуги циклоиды:

Вариант № 8

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти массу тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

для плотность

4. Найти массу кривой , если линейная плотность её в точке равна .

Вариант № 9

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

4. Вычислить момент инерции относительно оси Oz однородной сферической оболочки плотности

Вариант № 10

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти объем тела, заданного неравенствами:

4. Вычислить массу контура сферического треугольника

Вариант № 11

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для (внутри цилиндра)

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

4. Вычислить полярный момент инерции части однородной винтовой линии .

Вариант № 12

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для (внутри цилиндра)

3. Найти объем тела, заданного неравенствами:

4. Найти массу дуги параболы , если линейная плотность параболы в текущей точке равна .

Вариант № 13

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

3. Найти объем тела, заданного неравенствами:

4. Найти статический момент относительно плоскости XOY части однородной конической винтовой линии:

Вариант № 14

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти объем тела, заданного неравенствами:

для плотность

4. Найти моменты инерции однородной треугольной пластины относительно координатных плоскостей.

Вариант № 15

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти площадь фигуры ограниченной линиями:

4. Найти координаты центра тяжести однородной поверхности

Вариант № 16

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти массу пластины, ограниченной линиями:

для плотность

4. Найти массу дуги однородной пространственной кривой

Вариант № 17

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

4. Определить момент инерции однородной боковой поверхности конуса относительно оси Oz.

Вариант № 18

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти массу тела, ограниченного поверхностями:

для плотность

4. Найти массу участка винтовой линии

, если плотность .

Вариант № 19

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

(внутри цилиндра)

3. Найти объем тела, заданного неравенствами:

4. Найти статические моменты относительно координатных осей дуги однородной астроиды лежащий в первой четверти .

Вариант № 20

1. Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

2. В тройном интеграле , где V – область, ограниченная данными поверхностями, расставить пределы интегрирования в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

для

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

4. Найти массу участка кривой от точки с абсциссой до точки с абсциссой , если плотность в каждой точке равна квадрату её абсциссы.

Варианты индивидуальных заданий 1-ого семестра.

Вариант №1

1. Построить кривую, заданную в полярной системе координат

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

3) Найти производные:

а)

б)

в)

г) Написать уравнение нормали к кривой в точке

4) Исследовать функцию и построить ее график

5) Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Найти площадь между кривой , осью OX и ординатой

Вариант №2

1. Построить график функции в полярной системе координат

2. Найти пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

3. Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к данной кривой в точке если

4. Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6.Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболой и осью абсцисс.

Вариант №3

1. Построить график функции в полярной системе координат

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

3. Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение нормали к кривой ; (кривая задана параметрически), в точке соответствующей параметру

4. Исследовать функцию

и построить ее график

5. Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6) Найти площадь между кривой , осью OX и ординатой .

Вариант №4

1. Построить в полярной системе график функции

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию в точке на непрерывность

3. Вычислить производные

а) y=x(lnln2x-cosln )

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график

5.Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6.Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой .

Вариант №5

1. Построить график функции в полярной системе координат.

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию в точке на непрерывность

3. Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Составить уравнение нормали к кривой, заданной параметрически:

В точке, соответствующей параметру

4. Исследовать функцию и построить ее график

5. Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной:

Вариант № 6

1. Построить график функции, заданной параметрически

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

3. Найти производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение нормали к кривой в точке , если

4. Исследовать функцию и построить ее график

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченную крив , прямой и осью oy.

Вариант №7

1.Построить прямую, заданную параметрически

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию в точке на непрерывность.

3.Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение нормали в точке к кривой

4.Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой осью ox и прямой .

Вариант №8

1. Построить график функции в полярной системе координат

2. Найти пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке , если

3. Найти производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболой и осью абсцисс.

Вариант №9

1.Построить кривую, заданную в полярной системе координат

2.Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Написать уравнение нормали к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график

5.Вычислить интегралы :

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вариант №10

1. Построить кривую в полярной системе координат

2. Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию в точке на непрерывность.

3. Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к кривой в точке

4.Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Вариант №11

1.Построить график функции в полярной системе координат:

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение касательной к кривой

заданной параметрически в точке, соответствующей параметру

4. Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полуволной и осью ox

Вариант №12

1. Построить кривую в полярной системе координат

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке , если

3. Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной , осью ox и прямой

Вариант №13

1. Построить в полярной системе координат кривую

2.Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию в точке на непрерывность.

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Записать уравнение касательной к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить график.

5.Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь, ограниченную: , прямой и прямой .

Вариант №14

1.Построить график функции, заданной параметрически

2. Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке , если

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение нормали к кривой, заданной параметрически

в точке, соответствующей параметру .

4.Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интергалы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Вариант №15

1. Построить в полярной системе координат

2. Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке , если

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Написать уравнение нормали к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6.Вычислить площадь фигуры, ограниченную кривой и прямой

Вариант №16

1.Построить в полярной системе координат кривую

2. Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию в точке на непрерывность

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Написать уравнение касательной к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривыми и

Вариант №17

1.Построить график функции, заданной в полярной системе координат

2. Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать на непрерывность функцию в точке

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение касательной к кривой, заданной параметрически

В точке

4.Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривыми

и прямой .

Вариант №18

1. Построить график функции, заданной параметрически

2. Вычислить пределы: а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке если

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение касательной к кривой в точке

4.Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь, заключенную между параболой , осью ox и прямой .

Вариант №19

1. Построить кривую, заданную параметрически

2. Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию в точке на непрерывность.

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение нормали к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график

5. Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь между окружностью и параболой .

Вариант №20

1. Построить график кривой в полярной системе координат:

2. Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать на непрерывность функцию в точке

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение касательной к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь между кривыми и

Вариант №21

1. Построить график функции, заданной параметрически

2. Вычислить пределы:

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке если

3. Вычислить производные

а)

б)

в)

г) Составить уравнение нормали в точке к кривой

4. Исследовать функцию и построить ее график.

5. Вычислить интегралы.

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь между кривой , осью ox и прямой .

Вариант № 22

1. Построить график кривой в полярной системе координат

2. Вычислить пределы

а)

б)

в)

г) Исследовать функцию на непрерывность в точке

3. Вычислить производные:

а)

б)

в)

г) Составить уравнение нормали к кривой в точке

4. Исследовать функцию и построить ее график

5. Вычислить интегралы

а)

б)

в)

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс.

Вопросы к экзамену по «Математическому анализу»