
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы линейной и аналитической геометрии 4
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •1.1. Элементы линейной алгебры
- •1.1.1. Матрицы. Действия с матрицами
- •1.1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
- •1.1.5. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
- •1.2. Векторы
- •1.2.1. Понятие геометрического вектора
- •1.2.2. Модуль вектора
- •1.2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •1.2.9. Векторное произведение векторов и его свойства
- •1.3.2. Нахождение координат вектора, заданного двумя точками
- •1.3.3. Линейные операции над векторами
- •1.3.4. Произведения векторов в пдск
- •1.4. Элементы аналитической геометрии
- •1.4.1. Плоскость в пространстве
- •1.4.2. Прямая в пространстве
- •1.4.3. Прямая на плоскости
- •Нормальное уравнение прямой км имеет вид
- •1.4.4. Кривые 2-го порядка
- •1.4.5. Окружность
- •1.4.6. Эллипс
- •1.4.7. Гипербола
- •1.4.8. Парабола
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Список литературы
1.4. Элементы аналитической геометрии
1.4.1. Плоскость в пространстве
Пусть
дана ПДСК. Уравнение Аx
+ By
+ Cz
+ D
= 0 задает плоскость и называется общим
уравнением плоскости.
Для написания общего уравнения плоскости
надо определить вектор нормали n
= Ai
+
+ Bj
+ Ck
(нормаль плоскости – это прямая,
перпендикулярная плоскости) и одну
точку плоскости
где
Если известно общее уравнение плоскости,
то можно легко найти нор-мальное
уравнение плоскости:
,
где
.
Знак
плюс или знак минус выбирается так,
чтобы р
> 0. Углы
– это углы между вектором нормали n
и осями координат Ox,
Oy,
Oz
соответственно.
Если
известно нормальное уравнение плоскости,
то легко
найти расстояние
от точки
до
этой плоскости:
.
1.4.2. Прямая в пространстве
Прямая,
проходящая через точку
в направлении вектора s
= li
+ mj
+ nk,
задается:
либо
каноническим
уравнением прямой
,
либо
параметрическим
уравнением прямой
где t
параметр,
либо
прямая задается как
пересечение двух плоскостей
в этом случае
.
Вектор s
называется направляющим
вектором прямой.
1.4.3. Прямая на плоскости
Пусть
задана ПДСК на плоскости. Уравнение Ах
+ Ву + С = 0
задает прямую на плоскости и называется
общим
уравнением прямой.
Для написания общего уравнения прямой
надо знать вектор нормали
n
=Ai
+ Bj
(нормаль
прямой – это прямая, перпендикулярная
данной прямой) и одну точку прямой
:
где
Если
известно общее уравнение прямой, то
можно найти нормальное
уравнение прямой:
где
Знак плюс или знак минус выбирается
так, чтобы p
> 0. Здесь
–
угол между вектором нормали n
и осью Ох.
Если
известно нормальное уравнение прямой,
то легко найти расстояние
от точки
до этой прямой:
Если
из общего уравнения прямой выразить
переменную y,
получим уравнение
прямой с
угловым коэффициентом у = kx
+ b,
здесь
– угловой коэффициент, а
– свободный член урав-нения.
Пример 1
В треугольнике с вершинами К (–5; 4), L (1; – 4), М (–9; 1) найти:
а) уравнение прямой, содержащей опущенную из вершины L высоту;
б) длину высоты, опущенной из вершины L;
в) точку N, симметричную точке L, относительно прямой, проходящей через точки К, М.
Решение
а)
вектором нормали прямой (Lh),
содержащей высоту, является вектор
=
– 4i
– 3j.
Находим уравнение прямой
–4(х
–1) – 3 (у
+ 4) = 0,
–
4х
– 3у
– 8 = 0.
(Lh) : 4х + 3у + 8 = 0 – уравнение прямой, содержащей опущенную из вершины L высоту;
б) длина высоты, опущенной из вершины L, равна расстоянию от точки L до прямой КМ, проходящей через точки К, М. Найдем уравнение этой прямой. Так как = – 4i – 3j, то n = 3i – 4j – век- тор нормали этой прямой. Находим общее уравнение прямой (КМ): 3(х + 5) – 4(у – 4) = 0, КМ : 3х – 4у +31 = 0.
Нормальное уравнение прямой км имеет вид
–
– длина
высоты.
в)
Чтобы найти точку N,
необходимо определить точку пересечения
прямых Lh,
КМ,
т.е. необходимо решить систему линейных
уравнений
Теперь
находим точку
Так как
то
.
Ответ:
а) (Lh)
: 4х
+ 3у
+ 8 = 0, б)
,
в) N
(–11; 12).
Пример 2
Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку К (3; –7;7) перпендикулярно плоскости, содержащей точки L (–6; 2; –2), M (1; –5; –5), N (2; 3; 1).
Решение.
За вектор нормали плоскости LMN,
проходящей через точки L,
M,
N,
можно взять вектор, коллинеарный вектору
вектор
нор-мали плоскости LMN.
Вектор нормали к плоскости LMN является направляющим вектором прямой S, проходящей через точку К перпендикулярно плоскос- ти LMN:
каноническое
уравнение прямой.
Ответ:
Пример 3
Написать
общее уравнение плоскости, проходящей
через точку L
(–3; –2; 9) и
прямую
Решение.
Заданная прямая проходит через точку
М
(5; 6; –9) в направлении вектора s
= 4i
–4j
– k.
Чтобы найти
вектор нормали плоскости, необходимо
найти вектор
8i
+ 8j
– 18k,
а затем векторное произведение
Следовательно, n =5i + 4j + 4k – вектор нормали плоскости. Тогда
5(х +3) + 4 (у + 2) + 4 (z – 9) = 0, 5 x + 4у + 4z – 13 = 0 – общее урав-нение плоскости.
Ответ: 5х +4у + 4z – 13 = 0.