1.2.9. Векторное произведение векторов и его свойства

Вектор с, удовлетворяющий условиям:

1. 

2. 

3. векторы a, b, c образуют правую тройку векторов;

называется векторным произведением векторов и обозначается

Векторное произведение обладает свойствами:

1. 

2. 

3. вещественное число;

4. равен площади параллелограмма, построенного на векторах a, b;

5. если и , то .

10. Смешанное произведение векторов

и его свойства

Число называется смешанным произведением векторов а, b, c и обозначается (а, b, с).

Если a, b, c – компланарные векторы, то (a, b, c) = 0. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Смешанное произведение трех векторов определяется формулой

.

1.3. Прямоугольная декартова система

координат (ПДСК)

1.3.1. Определение прямоугольной декартовой

системы координат

П рямоугольная декартова система координат (ПДСК) состоит из фиксированной точки О (центра системы координат) и трех пересекающихся в ней, взаимно перпендику-лярных прямых Ox, Оу, Оz (осей системы координат). Направления выбираются так, чтобы прямые образовывали правую трой-ку векторов.

Единичные векторы, задающие направления осям Ox, Oу, Oz, обозначаются буквами i, j, k и образуют ортонормированный базис.

Вектор называется радиус-вектором точки Р. Координаты вектора относительно базиса i, j, k являются координатами точки Р, т.е., если , то – точка с координатами

Т ак как i = i, j = j, k = k , то i = {1; 0; 0}, j = {0;1;0}, k = {0;0;1}.

Если векторы рассматриваются на плоскости, то ПДСК состоит из двух перпендикулярных осей Ох, Оу с направляющими ортами i, j(i = {1; 0}, j = {0; 1} ).

1.3.2. Нахождение координат вектора, заданного двумя точками

Пусть в ПДСК заданы точки . Тогда , т.е. чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора отнять координаты начала вектора.

1.3.3. Линейные операции над векторами

Пусть в ПДСК заданы векторы . Тогда

вещественное число.

Векторы и являются коллинеарными, если , их направления совпадают, если , их направления противоположны.

1.3.4. Произведения векторов в пдск

Пусть в ПДСК заданы векторы . Тогда – скалярное про- изведение, = – модуль вектора, – векторное произведение, – смешанное произведение.

Пример 1

В ПДСК даны векторы Найти единичный вектор х, перпендикулярный векторам а, b.

Решение. Вектор с = а b перпендикулярен векторам а, b.

c = a b =

В качестве вектора х можно взять

вектор х = или вектор х =

Векторы a, b, образуют правую тройку векторов, а a, b, левую.

Ответ: х или х

Пример 2

Найти х если известно, что х = а + 2b, у= 2а – b, угол между векторами а, b равен

Решение. Используя свойства скалярного произведения, находим

(х, у) = (а + 2b, 2a – b) = 2(a, a) + 3(a, b) – 2(b, b) =

=

= (2a – b, 2a – b) = 4(a, a) – 4(a, b) + (b, b) =

=

Ответ:

Пример 3

В ПДСК заданы векторы a = i + 3j – k, b = -i – j + k, c = 2i – j + 3k. Найти вектор х такой, чтобы его скалярное произведение с векторами a, b, c равнялось –12, 6, –8 соответственно.

Решение. Пусть х = i + j + k. Из условия задачи получаем

(а, х) =

(b, x) = –

(с, х) =

Необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными По формуле Крамера находим

Ответ: x = -4i – 3j – k.

Пример 4

В ПДСК заданы векторы а = 2i – j + k, b = -3i + j – 2k. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах x, у, где вектор х перпендикулярен векторам а, b и , а вектор у = а + b.

Решение. Вектор с = а b перпендикулярен векторам а, b.

с = а b =

Вектор х должен быть коллинеарен вектору с, так как по условию задачи то Находим y = a + b = - i – k,

x у = – пло-щадь параллелограмма, построенного на векторах х, у.

Ответ:

Пример 5

В ПДСК заданы векторы a = i –2j + k, b = i – j + 3k, и точки М (1;-3; 5), N (–2; 1; 4). Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах х, у, z, где х = а b, y = 2a – b, z = .

Решение

х = а b = y = 2a – b = i – 3j – k, z =

= = -3i + 4j – k.

(x, y, z) = – объем параллелепипеда, построенного на векторах x, y, z.

Ответ: V = 48.