1.2. Векторы

1.2.1. Понятие геометрического вектора

Геометрический вектор – это на-

правленный отрезок. Векторы обозна-

чаются следующим образом: ;

M – начальная точка вектора,

а Р – конечная точка вектора.

Понятие «вектор» имеет более широкий смысл. Вектором называют элемент линейного пространства, как правило, конечномерного. Все множество геометрических векторов составляет линейное пространство. Линейное пространство образуют многие математические объекты, например, матрицы одного размера, или многочлены. Далее, под словом «вектор» всегда имеем в виду геометрический вектор.

1.2.2. Модуль вектора

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем, и обозначается .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Ортом вектора а называется единичный вектор сонаправленный с а, т. е. .

Нулевой вектор 0 – это вектор, начало и конец которого совпадают. Модуль нулевого вектора равен нулю, а направление не определено.

Два вектора равны, если их направления совпадают, а модули равны.

1.2.3. Базис

Три вектора a, b, c, параллельные одной плоскости, называются компланарными векторами. Если векторы a, b, c не являются компланарными, то их называют базисом в .

Два вектора a, b, параллельные одной прямой, называются коллинеарными (обозначение: ). Если векторы рассматриваются на плоскости, то неколлинеарные векторы a, b также называются базисом.

1.2.4. Разложение вектора по базису

Пусть – базис. Любой вектор a однозначно раскладывается по базису , т.е. существуют единственные числа такие, что Числа называют координатами вектора а относительно базиса

Запись означает, что числа являются координатами вектора а относительно базиса

1.2.5. Правая и левая тройки векторов

Пусть a, b, c – три некомпланарных вектора. Говорят, что векторы а, b, c образуют правую точку векторов, если из конца третьего вектора с кратчайший поворот от вектора а к вектору b виден против часовой стрелки. В противоположном случае тройка векторов называется левой.

1.2.6. Проекция вектора на вектор

Пусть a, b – векторы, – угол между векторами a, b. Проекция век-тора а на направление вектора b называется числом

Если , то , и векторы a, b называются перпендикулярными или ортогональными (обозначение: ).

1.2.7. Ортонормированный базис

Базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов, называется ортонормированным, а векторы, составляющие ортонормированный базис, называются ортами.

1.2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением векторов a, b называется число , где – угол между векторами a, b.

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) ;

2)

3)

4) вещественное число;

5) если

Скалярное произведение двух векторов выражается формулой , т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат.