7.2.Похідна функції

Нехай у є функцією аргументу х. Цю функціональну залежність запишемо в вигляді у(х). При зміні аргументу на величину значення функції зміниться на величину . Похідною називається границя, до якої наближається відношення приросту функції до приросту аргументу, при якому пройшов цей приріст (при наближенні до нуля)

.

Похідна характеризує швидкість зміни функції у при зміні аргументу x.

Найпростіші похідні, якими користувалися у посібнику:

у = с, постійна величина, що не залежить від х у^/. = 0

у = сх, лінійна залежність у^/ = c

у = сх² квадратична залежність у^/ = 2cх

у = схⁿ показникова функція (загальний випадок) у^/ = ncx^n-1

(тобто n=-1 у попередній формулі)

y = e^x y^/ = e^x

у = sin x у^/. = cos x

у = cos x у^/. = - sin x

Приклади. 1. Миттєва швидкість – це похідна радіус-вектора за часом, тобто границя , до якої наближається відношення приросту радіус-вектора до часу , за який цей приріст відбувся, .

= .

Значення проекції швидкості на одну з осей, наприклад на вісь x :

.

Зазначимо, що тут функцією є радіус-вектор , координатами –х, у, z, а аргументом – час t. Тому похідну беремо за часом t.

2. У загальному випадку довільного криволінійного руху вводиться поняття вектора миттєвого прискорення в довільній точці траєкторії. Миттєве прискорення – це похідна вектора швидкості за часом:

.

Значення проекції прискорення на одну з осей, наприклад на вісь x :

Таким чином, прискорення є похідною за часом та другою похідною за часом.

3. Миттєва потужність є похідною роботи за часом, характеризує швидкість виконання роботи:

4. Напруженість електричного поля зв’язана з потенціалом співвідношенням, що характеризує швидкість зміни потенціалу, тобто є похідною потенціалу вздовж якоїсь осі:

.

7.3. Невизначений та визначений інтеграл

Інтегрування – операція, зворотна до диференціювання. Інтегрування полягає в знаходженні суми нескінченно малих величин, внаслідок чого отримують скінчену величину. Так, довжина дуги довільної кривої дорівнює сумі нескінченно малих відрізків , які називають диференціалами та позначають dl. Довжина дуги кривої може бути виражена сумою нескінченно великої кількості відрізків:

L= ,

або через позначення інтеграла:

L= .

Визначений інтеграл від неперервної функції у(х) – це площа під кривою, що заштрихована на рис. 7.1.13. Значення аргументу x₁ та x₂ називають нижньою та верхньою межею інтегрування. Очевидно, що ця площа складається з площ нескінченно вузьких прямокутників у(х)dx.

Визначений інтеграл, що чисельно рівний площі під кривою у(х) записують у вигляді:

.

Для визначеного інтеграла можна записати:

,

де знаходження значення функції F(x) і є суттю інтегрування.

Оскільки інтегрування є дією зворотною до знаходження похідної та диференціала, то невизначений інтеграл (без меж інтегрування) буде рівний функції F(x) з точністю до довільної константи, тобто:

const.

У курсі фізики найчастіше використовують інтеграли від показникової функції xⁿ. Такий інтеграл дорівнює:

+ const; .

У випадку n=-1 отримують функцію, що називається натуральним логарифмом (логарифм з основою е ≈ 2,7).

.

306