7. Математичний додаток

7.1.Вектори. Дії з векторами

7.1.1. Проекція вектора

7.1.1.1. Проекції векторів , , на вісь х – це довжини відрізків а_х, , відповідно, що визначаються так, як показано на рис. 7.1.1.

х

Рис. 7.1.1

7.1.1.2. Проекція вектора на осі х та у знаходять аналогічно (рис. 7.1.2). Величини проекцій на осі х та у рівні відповідно:

a_x =a cosα та a_y = a sinα

В икористовуючи одиничні вектори (вектори одиничної довжини, що направлені вздовж осей х та у ,так звані направляючі орти), у векторній формі можна записати:

.

Приклад. Використаємо значення проекцій сил, що діють на осі х та у при русі тіла по похилій площині вниз (рис. 7.1.3). У векторній формі другий закон Ньютона для тіла на похилій площині має вигляд:

.

У проекціях на осі:

на вісь x: ;

на вісь y :

7 .1.1.3. У просторі довільний вектор можна виразити через його проекції на осі, використовуючи поняття про одиничні вектори вздовж цих осей:

.

Приклад. У механіці використовується поняття радіус - вектор матеріальної точки. Радіус-вектор є вектором, що направлений з початку координат у точку, в якій знаходиться матеріальна точка в даний момент часу (рис. 6.1.4). Таким чином, радіус-вектор має початок у точці (0,0,0); (х, у, z) - координати його кінця. З іншого боку х, у, z є проекціями вектора на осі х, у, z. Можна записати:

.

Величина модуля вектора може бути виражена через величини проекцій радіус-вектора на осі х, у, z:

.

7.1.2. Добуток вектора на скаляр

Д обутком скалярної величини с на вектора є вектор , що має напрямок вектора , а його величина (модуль) дорівнює добутку скаляра с на модуль вектора , тобто: . На рис. 7.1.5 показано, що залежно від величини с модуль вектора може приймати значення як менше, ніж модуль вектора (с<1), так і більше, ніж модуль вектора (с>1). Зрозуміло, що в випадку с=1 вектор = .

7.1.3. Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів є скалярна величина, що чисельно дорівнює (рис. 7.1.6):

.

Можна переписати визначення скалярного добутку в іншому вигляді:

Тут a_x – проекція вектора на вісь, що збігається з напрямком вектора .

У загальному випадку двох векторів у просторі їх скалярний добуток виражається через проекції цих векторів на всі три осі координат:

.

Приклади. 1. Елементарна механічна робота є скалярним добутком вектора сили на вектор переміщення (рис. 7.1.7):

= .

Т ут – проекція сили на напрямок переміщення.

2. Миттєва потужність – це відношення елементарної роботи до часу, за який ця робота виконана:

З іншого боку, використовуючи визначення роботи, отримаємо вираз, що свідчить, що миттєва потужність є скалярним добутком векторів сили та миттєвої швидкості (див. рис. 7.1.7):