6.1.2.5. Ефект Холла

Якщо провідну пластину, по якій тече постійний електричний струм, помістити в перпендикулярне їй магнітне поле, то між гранями пластини, паралельними струму і полю , виникає різниця потенціалів U_H=j₁-j₂ (рис. 6.1.15). Це і є суттю ефекту Холла.

Ефект Холла пояснюється за допомогою електронної теорії. Спочатку розглянемо випадок, коли електричний струм у пластині створений носіями одного знаку, наприклад, електронами. За відсутності магнітного поля струм у пластині обумовлений електричним полем , створеним джерелом струму, направленим вздовж осі x. Еквіпотенціальні поверхні цього поля утворюють систему перпендикулярних вектору площин (рис. 6.1.16, суцільні вертикальні лінії). Різниця потенціалів між точками 1 і 2, які належать одній і тій же еквіпотенціальній поверхні, дорівнює нулю. Під дією поля з напруженістю електрони рухаються вздовж пластини з середньою швидкістю упорядкованого руху (швидкість дрейфу).

При вмиканні магнітного поля з індукцією , направленою вздовж осі Z, на кожний електрон діє сила Лоренца:

.

Ця сила є перпендикулярною до векторів швидкості та індукції та відхиляє електрони донизу. Внаслідок цього нижня грань пластини заряджається від’ємно, а верхня – додатньо. Електричне поле, що виникає у вертикальному напрямку з напруженістю , перешкоджає відхиленню електронів, викликаному магнітним полем.

Процес накопичення електронів на гранях пластини припиняється, коли електрична сила

F_e=eE_у

буде зрівноважувати силу Лоренца

F_л = e B,

тобто при

eE_у = e B.

Звідси знаходимо:

E_у = B

Поле , що виникає у вертикальному напрямку (рис. 6.1.16), складається з полем у результуюче поле з напруженістю

.

Еквіпотенціальні поверхні результуючого поля (вони перпендикулярні вектору в будь-якій точці поля) зображені на рис. 6.1.16 пунктиром. Як бачимо, точки 1 і 2 розташовані за відсутності магнітного поля (В=0) на одній і тій же еквіпотенціальній поверхні, а при В 0 ці точки належать різним еквіпотенціальним поверхням і тому мають різні потенціали j₁ і j₂. Таким чином і виникає ефект Холла.

Розрахуємо величину поперечної різниці потенціалів

U_H=j₁-j₂,

що виникає в провідній пластині зі струмом при включенні магнітного поля. Густина струму j у пластині може бути виражена через концентрацію n електронів і середню швидкість їх руху (швидкість дрейфу):

j = en .

З урахуванням (1) співвідношення (1) набуває вигляду:

.

Отже, напруженість поперечного (холлівського) поля Е_у пропорційна густині струму j і магнітній індукції В. Зазначимо, що це твердження має загальний характер і справедливе для випадку декількох сортів носіїв струму.

Введений коефіцієнт пропорційності R_н між напруженістю холлівського поля Е_у і добутком j· В залежить від природи матеріалу; він називається сталою Холла і для випадку носіїв одного сорту має вираз:

Якщо ширину пластини позначити через d, її товщину – h, то холлівська різниця потенціалів матиме вигляд:

,

де – сила струму; S = d×h – площа поперечного перерізу пластини. З останнього рівняння знаходимо:

Стала Холла для напівпровідників типу германій, кремній та інших, в яких носіями заряду є носії одного виду (n чи p):

де n – концентрація носіїв заряду (датальніше про визначення сталої Холла див. лабораторну роботу 6-3, розд. 6.2).