Аппроксимация тригонометрическим рядом Фурье

В этом случае функцию S(t) разлагаем в ряд Фурье и дифференцированием ряда определяем зависимости скорости v(t) и ускорения a(t) ползуна . При этом необходимо решить вопрос об оптимальном числе членов ряда . Разложение функции в ряд Фурье означает ее приближенную замену тригонометрическим полиномом вида .

где A_j , B_j - коэффициенты ряда , p_j = 2πj/T - частоты , по которым производится разложение , T = 2π / ω₁ = 2π / 60 = 0.105 c - время полного оборота кривошипа ,

- амплитуда на j-й гармоники , α_j - её фаза , ь -число членов ряда .

В данном случае функция S(t) задана таблицей значений в конечном числе точек n=36 , поэтому максимальное число членов ряда m_max=n/2=36/2=18 .

Формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье при табличном задании функции :

На первом этапе разложим в ряд с максимально возможным числом членов ряда . В этом случае значения ряда Фурье в узлах практически совпадают с данными эксперимента (результаты разложения представлены на рис.2.1 и табл. 2.2).

Таблица 2.2

р ис 2.1

На графике скорости и особенно ускорения явно видны паразитные осцилляции, вызванные погрешностями работы механизма и замера значений . Во многих случаях возникает потребность сглаживания такого рода зависимостей.

Оценим значимость слагаемых ряда с помощью амплитудного спектра, показанного на рис.2.2 и табл. 2.3.

Таблица 2.3

Рис.2.2

Анализ амплитудного спектра исследуемой функции показывает, что существенными, кроме A0/2, являются лишь слагаемые ряда, соответствующие первым двум частотам, поэтому проведём разложение в ряд и аппроксимацию функции с учётом только этих частот. Результаты представлены на рис.2.3 и табл. 2.4. Очевидно, что получена сглаживающая аппроксимация, при этом аппроксимирующее выражение для данной функции с учётом только первых двух членов ряда приобретает вид:

Таблица 2.4

Рис.2.3

2.2 Аппроксимация функции полиномами, коэффициенты которых определены по методу наименьших квадратов (мнк)

В этом случае функцию разлагаем в степенной ряд и дифференцированием уже этого ряда находим зависимости скорости и ускорения ползуна. При этом необходимо решить вопрос об оптимальной степени полинома. Разложение функции в степенной ряд означает её приближённую замену полиномом вида

где a- коэффициенты ряда, n - степень полинома.

Таким образом, задача сводится к нахождению a таких, чтобы график полинома проходил между точками исходной функции, минимизируя среднее квадратическое отклонение исходной функции.

Исследования показали, что наилучший результат получается при m=10 (см. рис.2.4 и табл. 2.5).

Таблица 2.5

Рис.2.4

Аппроксимирующее выражение в данном случае принимает вид

Оценим качество аппроксимации. Функция аппроксимирована удовлетворительно, со сглаживанием. Однако на графиках производных проявляется основной недостаток – отсутствие периодичности, в то время как функция в данном случае периодична по своей сути. Кроме того, аппроксимирующее выражение более громоздкое, чем в предыдущем случае.