Для матрицы линейного оператора найти: а) собственные числа;
б) собственный вектор, соответствующий максимальному по абсолютной величине собственному числу; выполнить проверку.
Решение: Собственные числа
матрицы
на-ходятся из условия равенства нулю
определителя
.
В нашем случае это
.
Раскрывая определитель, получаем
квадратное уравнение
,
имеющее вид
.
Собственные числа матрицы
–
корни этого уравнения:
.
Собственный вектор
,
отвечающий собственному числу
,
определяется равенством
и находится из условия
.
В нашем случае это
.
Так как
,
то максимальным по абсолютной величине
собственным числом является
,
тогда имеем
или
,
что равносильно системе уравнений
,
из которой следует, что
и вектор
является собственным вектором для
.
Проверка. Проверим, что
для
и собственного вектора
:
— верно.
Решить типичные задачи:
Для матрицы линейного оператора найти:
a) собственные числа;
б) собственный вектор, соответствующий максимальному по абсолютной величине собственному числу; выполнить проверку.
1)
,
2)
, 3)
,
4)
, 5)
, 6)
,
7)
, 8)
.
§5. Векторная алгебра
1. Даны координаты вершин пирамиды , , и
Найти:
а) длину ребра
;
б) угол между векторами
и
;
в) площадь грани
;
г) объём пирамиды
.
Решение: а) Найдем
координаты вектора
,
тогда длина ребра
равна
;
б) Найдем координаты вектора
и его длину
Из пункта а)
и
,
поэтому
в)
Найдем координаты вектора
.
Тогда векторное произведение векторов
и
равно
Площадь
грани равна половине длины полученного
вектора, то есть
.
г)
Объём пирамиды
равен
.
Находим смешанное произведение:
.
Здесь использовались свойства определителей. Можно было провести другое вычисление:
Окончательно
имеем
.
Решить типичные задачи:
Даны координаты вершин пирамиды
1)
,
,
и
.
2)
,
,
и
.
3)
,
,
и
.
4)
,
,
и
.
5)
,
,
и
.
6)
,
,
и
.
7)
,
,
и
.
8)
,
,
и
.
Найти: а) длину ребра ;
б) угол между векторами и ;
в) площадь грани ; г) объём пирамиды .
Аналогичные задачи с решениями есть в [2], том 1: задачи 3.1.13, 3.2.8 а), 3.3.5, см. также 3.4.4.
§6. Комплексные числа
Решить уравнение: .
Решение.
или
Здесь введено обозначение
,
тогда
(величина i
называется мнимой единицей).
Решить типичные задачи:
Найти алгебраическую форму комплексного числа
.
Решение.
Пример решения аналогичной задачи есть в [1]: пример 28.2 (§28)
Решить типичные задачи:
Аналогичная задача с решением есть в [2]: задача 10.2.1 и в [1]: примеры 20.11 (§20), 20.12 (§20), см. также 20.10 (§20) и 11.3.16
§7. Интегрирование
Таблица неопределенных интегралов:
Для того, чтобы научиться вычислять интегралы, надо выучить таблицу интегралов и освоить основные правила интегрирования. Одними из самых важных формул таблицы интегралов являются формулы
и
Для того, чтобы их хорошо запомнить, решите следующие задачи, предварительно ответив на вопросы:
“Чему равно
?”
и “Чему равно
?”
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Добавьте в таблицу интегралов следующие формулы
и
Заметим, что неопределенный интеграл обладает свойством линейности
Примените это свойство к решению следующих задач:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
.
Чтобы освоить метод подведения под знак дифференциала, решите следующие задачи
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
