Раздел 2, Системы знания 205

алгебраическими функциями и доказывать геометрические теоремы с помощью алгебраических действий. Оказывается, использование наглядных пространственных образов вовсе не обязательно для получения новых результатов и в геометрии. В свете сказанного вы, наверное, не удивитесь тому факту, что ряд выдающихся математиков-геометров были слепыми.

Итак, знание в математике совершенно особенное, потому что не получается в опыте, а значит, не может быть ни подтвержено, ни опровергнуто опытом.

Но в таком случае как понять такое знание? Как оно возможно?

Апостериорное и априорное знание. Априорное знание как знание мира идей

Философы давно задумались об этом. В течение многих веков была популярна идея о том, что можно выделить два вида знания: знание, получаемое и проверяемое в опыте (его назвали апостериорным знанием) и знание, от опыта не зависящее (априорное). Математика считалась самым ярким примером априорного знания. Конечно, любое знание предполагает размышление. Вместе с тем, опытное знание возможно только тогда, когда имеется воздействие внешних человеку предметов на его органы чувств (т.е. органы зрения, слуха, осязания, обоняния). Если бы человек не был окружен разными предметами, с которыми он взаимодействует, или если бы он не имел органов чувств, он не имел бы опытного знания. Когда у человека отсутствует тот или иной из органов чувств, он не может иметь знаний о соответствующих характеристиках действительности. Так, например, слепорожденный не знает, что такое цвет, а глухой не имеет знаний о звуках, их сочетаниях и взаимоотношениях. Что же касается априорного знания, то оно, как считали многие философы, выражает природу самого ума и является врожденным. Поэтому оно и не зависимо от опыта. Великий философ древней Греции Платон считал, что душа и тело человека имеют разную природу. Телесный человек рождается и умирает, а его душа бессмертна. Она вселяется в тело только на какое-то время. До того, как душа соединилась с телом, она соприкасалась с миром особых нематериальных предметов-идей, существующих вне пространства и времени, таких, в частности, как идеи треугольника, окружности, арифметических чисел, с которыми имеет дело математика. Контакт души с миром идей породил математическое знание, о котором душа как бы забыла, соединившись с телом и вступив во взаимодействие с материальными предметами. Однако душа может при помощи специальных процедур вспомнить о тех знаниях, которые она получила до всякого чувственного опыта и как бы «вытащить» это дремавшее в ее глубинах знание на поверхность сознания. Выявление логических взаимоотношений между элементами этого знания порождает математику. Платон, а за ним многие другие философы, считали математику образцом знания вообще. Ведь знание, подчеркивал Платон, это то,

206 Часть III. Человеческое познание. Пропедевтика

что точно соответствует своему предмету. Мы можем претендовать на то, что знаем нечто, только в одном случае: когда мы уверены, что наше утверждение соответствует реальному положению дел. Но у нас никогда нет такой уверенности, когда мы имеем дело с утверждениями, относящимися к миру опыта. В математике же знание безошибочно, потому что оно вне-опытно.

Априорное знание как знание форм сознания

Некоторые философы не были согласны с Платоном в том, что для объяснения особого характера математического знания необходимо предполагать существование особого мира бестелесных идей. Достаточно согласиться с тем, считали эти философы, что в математике ум, сознание имеют дело сами с собой и с результатами своей деятельности, не зависимой от опыта. Ведь то, что породило сознание, бессмысленно проверять с помощью опыта. Я, например, могу вообразить существо с головой человека и телом крокодила. Если я знаю, что это только продукт моего воображения, существующий лишь в моем сознании, я понимаю, что опыт не может ни подтвердить, ни опровергнуть это представление. Все те качества, которые я припишу этому вымышленному существу, будут свойственны ему совершенно бесспорно. Однако в данном случае сам вымышленный мною образ стал возможен только потому, что я встречал в опыте как людей, так и крокодилов (или по крайней мере видел крокодилов в кино или по телевизору). Но можно себе представить такую деятельность сознания, считают эти философы, когда оно не перерабатывает вообще никаких данных опыта, а только имеет дело с самим собою. В этом случае, согласно их точке зрения, мы имеем математическое знание. Так, например, великий немецкий философ Кант высказал мысль о том, что от рождения сознанию человека свойственны некоторые «чистые» (т. е. не зависимые от опыта) формы пространства и времени. Сосуд не зависит от того, что в него наливается. В один и тот же сосуд я могу наливать воду, молоко, вино. Так же обстоит дело и с формой. Форма не зависит от того, с каким содержанием она соединяется. Форма пространства не зависит от того, с какими вещами я имею дело в опыте. Форма времени не зависит от того, какие временные события даны мне в моем опыте. Если я изучаю не то, чем наполняется сосуд, а то, как устроен сам сосуд, т. е. если я имею дело не с содержанием, а с формой знания, мое знание будет априорным. Ум, действующий в априорной сфере «чистого пространства», конструирует геометрические фигуры и порождает математическое знание. Априорная форма «чистого времени» предполагает возможность бесконечного повторения одной и той же операции. Эта возможность бесконечного повторения порождает мир арифметических чисел. Из этого мира при помощи правил логики можно конструировать систему алгебры.