2.8.3 Прямая геодезическая задача на плоскости

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X₂, Y₂ второго пункта, если известны координаты X₁, Y₁ первого пункта, дирекционный угол α и длина d линии, соединяющей эти пункты.

Формулы для решения прямой геодезической задачи приведены на рис.2.8.4.

                     

Рис. 2.8.4

2.8.4 Обратная геодезическая задача на плоскости

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X₁, Y₁ и X₂, Y₂ (рис.2.8.5).

Рис.2.8.5

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 ( ΔX = X₂ - X₁, ΔY = Y₂ - Y₁ ), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.

Если Δ X 00 и Δ Y 00, то решаем треугольник по известным формулам:

              (2.8.6)

             (2.8.7)

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (2.7.14) находим:

               (2.8.8)

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:

• определение номера четверти по знакам приращений координат Δ>X и ΔY (рис.2.3.1),

• вычисление α по формулам связи (2.7.14) в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:

          (2.8.9)

Если ΔX = 0.0 , то

S = іΔYі;

и α = 90^o 00' 00" при ΔY > 0 ,

α = 270^o 00' 00" при ΔY < 0 .

Если ΔY = 0.0 , то

S = іΔXі

и α = 0^o 00' 00" при ΔX > 0 ,

α = 180^o 00' 00" при ΔX < 0 .

Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль:

            (2.8.10)

если ΔY => 0^o , то α = a ,

если ΔY < 0^o , то α = 360^o - a .

Лекция 23

Раздел 3 Решение задач по топографическим планам и картам

3.1 Измерения на топографических планах и картах

Топографические планы и карты содержат различную информацию об объектах местности и ее рельефе; эта информация позволяет решать многие геодезические задачи; перечислим некоторые из них:

• определение прямоугольных координат X и Y точки,

• определение географических координат φ и λ точки,

• определение отметки H точки,

• нанесение точки на план или карту по ее прямоугольным (X и Y) или географическим (φ и λ) координатам,

• определение длины горизонтальной проекции линии c помощью линейного и поперечного масштабов,

• определение дирекционного угла или географического азимута линии,

• измерение горизонтального угла между двумя линиями,

• определение направления и крутизны ската,

• построение профиля местности по заданной линии,

• построение на плане или карте границ зон невидимости с данной точки местности,

• проведение на плане или карте линии с уклоном, не превышающим заданное значение,

• измерение площади участка,

• определение границ водосбора реки и ее притоков,

• проектирование береговой линии будущего водохранилища,

• определение площади зеркала и объема водохранилища,

• определение объемов земляных работ при строительстве различных инженерных сооружений.

Определение географических координат приведено на рис. 3.1.1.

Рис. 3.1.1

Определение прямоугольных координат приведено на рис. 3.1.2.

Рис. 3.1.2