1.3 Алгебраїчні та трансцендентні числа

Означення: Число називається алгебраїчним відносно числового поля Р, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем Р.

Число, яке не є алгебраїчним відносно поля Р, називається трансцендентним відносно поля Р.

Приклад: будь-яке раціональне число алгебраїчне, бо його можна розглядати як корінь многочлена f(x)=x- з раціональними коефіцієнтами (бо f( )= - =0).

Проте ірраціональні числа теж можуть бути алгебраїчними.

Приклад: числа , алгебраїчні, бо вони є коренями многочленів x²-2 i x³-7 відповідно над полем Q.

Однак не всі ірраціональні числа алгебраїчні. Числа , lg2, і інші – є трансцендентними.

Нехай - корінь незвідного многочлена степеня п над полем Р: f(x)=xⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀. (1)

Такий зведений многочлен f(x) – єдиний незвідний многочлен над полем Р, який має своїм коренем, а його степінь п найнижчий серед степенів усіх многочленів з коренем . Це видно із того, що будь-який інший многочлен g(x) над полем Р, коренем якого є , (внаслідок незвідності f(x)) ділиться на f(x) і тому має степінь не нижчий за п (взаємно простими f(x) i g(x) бути не можуть, бо внаслідок спільності кореня вони мають спільний множник х- ).

Означення: Зведений многочлен f(x), незвідний у полі Р, який має своїм коренем, називається мінімальним многочленом числа , а його степінь п – степенем алгебраїчного числа відносно поля Р.

Приклад:

1. Мінімальним полем, яке містить число 1, є поле раціональних чисел R, оскільки поле R належить усім числовим полям, а (з другого боку) ніяке ірраціональне число не може належати всім числовим полям, бо воно не належить числовому полю R.

2. Мінімальним полем, що містить число , є поле R( ) чисел виду а+b , де a, b – довільні раціональні числа.

Дійсно, ця числова множина утворює поле, яке містить (при a=0, b=1). З другого боку, кожне інше поле, яке містить , повинно містити і все поле R( ), бо разом із раціональними числами і числом до нього входять всі числа a+b , що результатами додавання і множення даних чисел.

1.4 Поле розкладу многочлена

Серед скінченних алгебраїчних розширень особливо важливі поля розкладу даного многочлена , які отримуються приєднанням всіх коренів рівняння . При цьому маються на увазі поля Р( , ,..., ), в яких многочлен із кільця повністю розкладається на лінійні множники:

і які отримуються приєднанням до Р коренів цих лінійних функцій. Для цих полів справедливі наступні теореми.

Теорема 7. Для кожного многочлена із кільця існує деяке поле розкладу.

Доведення. В кільці многочлен може наступним чином розкладатися на незвідні множники:

.

Спочатку ми приєднаємо будь-який корінь нерозкладного многочлена і при цьому отримаємо поле , в якому , а тому і , має лінійний множник .

Припустимо тепер, що уже побудоване поле , в якому у многочлена відділяються (однакові або різні) множники . Над полем многочлен розкладається так:

.

Приєднаємо тепер до будь-який корінь многочлена . В розширеному таким чином полі у многочлена відділяються множники . Може статися так, що в після вказаного приєднання виділиться більше лінійних множників.

Продовжуючи таким чином, ми в кінці кінців знайдемо поле , що і треба було довести.

Покажемо тепер, що поле розкладу даного многочлена визначається однозначно з точністю до еквівалентності. Для цього потрібно ввести поняття продовження ізоморфізму.

Нехай , і нехай має місце ізоморфізм .

Означення. Ізоморфізм називається продовженням заданого ізоморфізму , якщо кожен елемент із , який при початковому ізоморфізмі переходив в , при новому ізоморфізмі має той же образ із .

Всі теореми про продовження ізоморфізмів спираються на наступну теорему.

Теорема 8. Якщо при деякому ізоморфізмі нерозкладний многочлен із переходить в нерозкладний, звичайно, многочлен із і якщо − корінь многочлена в деякому розширенні поля , а − корінь многочлена в деякому розширення поля , то даний ізоморфізм продовжується до ізоморфізму , при якому переходить в .

Теорема 9. Якщо при деякому ізоморфізмі многочлен із переходить в многочлен із , то даний ізоморфізм продовжується до ізоморфізму довільного поля розкладу многочлена і довільного поля розкладу многочлена , причому елементи перейдуть в деякій послідовності в елементи .

Доведення. Припустимо, що ізоморфізм уже продовжений до деякого ізоморфізму , який переводить кожне в . В розширенні многочлен розкладається так:

.

Відповідно, з урахуванням ізоморфізму, многочлен розкладається в :

.

В розширенні , відповідно в множники і розкладаються на і відповідно . Набори і можна впорядкувати так, щоб був коренем многочлена , а − коренем многочлена . Згідно попередньої теореми ізоморфізм

можна продовжити до такого ізоморфізму

,

при якому буде переходити в .

Таким способом, крок за кроком, починаючи з , ми приходимо до шуканого ізоморфізму

,

при якому кожне переходить в .

У випадку, коли і заданий ізоморфізм залишає кожен елемент із на місці, то і продовжений ізоморфізм

також залишає нерухомими всі елементи із , тобто обидва поля розкладу для виявляються еквівалентними.

Наслідок. Поле розкладу довільного многочлена визначено однозначно з точністю до ізоморфізму.

Звідси слідує, що всі алгебраїчні властивості коренів не залежать від способу побудови поля розкладу. Наприклад, розкладається многочлен над полем комплексних чисел або в результаті символічного приєднання, − по суті, тобто з точністю до еквівалентності, поле розкладу буде одним і тим же.

Кожен корінь многочлена володіє кратністю, з якою він входить у розклад

.

Кратні корені наявні тоді і тільки тоді, коли і мають спільний дільник над полем розкладу, відмінний від константи. Їх найбільший спільний дільник над будь-яким розширенням є таким же, як і найбільший спільний дільник в початковому кільці . Тим самим, за допомогою побудови НСД і в кільці можна вияснити чи є у кратні корені у відповідному полі розкладу.

Два поля розкладу одного і того ж многочлена, які містяться в деякому полі , є не тільки еквівалентними, а й рівними. Дійсно, в цьому випадку співпадають два розклади над :

,

,

і із теореми про однозначний розклад на множники в слідує, що з точністю до порядку слідування множники повинні співпадати.