1.2 Алгебраїчні розширення полів

Просте розширення ( ), утворене приєднанням до поля деякого алгебраїчного відносно числа , є скінченним. Той факт, що є число алгебраїчне відносно поля , відіграє вирішальну роль при визначенні будови поля ( ). Щоб це підкреслити введемо означення.

Означення. Поле Р( ), утворене приєднанням до поля Р числа , алгебраїчного відносно поля Р, називається простим алгебраїчним розширенням поля Р.

Приклад. Поле чисел виду a+b (a, b – раціональні) є простим розширенням поля раціональних чисел, утвореним приєднанням числа .

Розширення поля Р, утворене за допомогою кількох послідовно виконаних простих алгебраїчних розширень, називається складним алгебраїчним розширенням поля Р. Позначається Р( )( )...( ).

Іншим словами, є складним алгебраїчним розширенням поля Р, якщо існує такий ланцюг розширень

,

що , , …, , причому кожне є алгебраїчним числом відносно поля (при ).

Не слід змішувати Р( )( )...( ) із символом Р( , ,..., ), який позначає розширення поля Р, утворене одночасним приєднанням до нього чисел , ,..., .

Означення. Розширення поля Р називається алгебраїчним, якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля Р.

Усі раніше введені типи розширень (просте і складне, скінчене) належать до алгебраїчних. Звичайно не кожне розширення поля є алгебраїчним.

Приклад. Поле дійсних чисел D не є алгебраїчним розширенням поля R раціональних чисел.

Теорема 2. Просте алгебраїчне розширення Р( ), утворене з Р приєднанням алгебраїчного відносно Р числа , є скінченим розширенням поля Р. Степінь розширення Р( ) над полем Р дорівнює степеню числа відносно Р.

Доведення. Дійсно, в теоремі 1 доведено, що довільне число можна подати у виді =с₀+с₁ +с₂ ²+...+с_п-1 ^п-1. Крім того, елементи 1, , ²,..., ^n-1 є базисом поля Р( ) відносно поля Р. Отже, Р( ) – скінчене розширення поля Р степеня п. Теорему доведено.

Наслідок. Степінь будь-якого квадратичного розширення числового поля дорівнює 2.

Лема 1. Якщо ‒ скінченне розширення поля , а ‒ скінченне розширення поля Р, то ‒ скінченне розширення поля , причому .

Лема 2. Якщо ‒ скінченне розширення поля степеня m, а ‒ довільне розширення поля Р, що міститься в : , то ‒ також скінченне розширення , причому його степінь ( : ) є дільником числа m.

З теореми 2 і леми 1 тепер безпосередньо випливає така теорема.

Теорема 3. Складне алгебраїчне розширення поля Р є скінченим розширенням цього поля. Степінь цього розширення дорівнює добутку степеня розширення відносно поля P на степінь розширення відносно поля .

Доведення. Позначимо , . Очевидно маємо . Кожне із розширень і є простим алгебраїчним розширенням. За теоремою 2 ці розширення скінченні. Припустимо, що ( : )= ,( : )=m. Використовуючи лему 1, маємо, що є скінченним розширенням поля , причому ( : )= , що і треба було довести.

Наслідок 1. Складне алгебраїчне розширення Р( )( )...( ) є скінченним розширенням поля Р. Степінь цього розширення дорівнює добутку степенів всіх послідовних простих розширень.

Наслідок 2. Якщо є ланцюгом квадратичних розширень, то є скінченним розширенням поля степеня 2^k.

Теорема 4. Будь-яке скінчене розширення поля є його алгебраїчним розширенням.

Доведення. Нехай Р₁ – скінчене розширення п-го степеня поля Р. Отже, будь-які п+1 елементів у полі Р₁ є лінійно залежними відносно Р. Тому, якщо взяти в Р₁ довільний елемент і за його допомогою скласти п+1 елементів: 1, , ²,..., ⁿ, то ця система елементів є лінійно залежною відносно Р, тобто існують такі λ_i P, з яких не всі дорівнюють 0, що справджується рівність:

.

Отже, є коренем деякого многочлена f(x)=λ_nxⁿ+...+λ₁x+λ₀ з коефіцієнтами з поля Р, тобто є алгебраїчним числом відносно поля Р. Теорему доведено.

Отже, із теорем 2, 3, 4: кожне просте або складне алгебраїчне розширення числового поля Р є алгебраїчним розширенням цього поля.

Справедливим є твердження: скінченне розширення поля Р є не тільки алгебраїчним, але й простим алгебраїчним розширенням Р.

Теорема 5. Якщо Р₁ ‒ скінченне розширення другого степеня поля Р, то воно є квадратичним розширенням Р.

Ця теорема є оберненим твердженням до наслідку з теореми 2.

Теорема 6. Розширення Р( , ,..., ), утворене з Р одночасним приєднанням алгебраїчних відносно Р чисел , ,..., , збігається із складним алгебраїчним розширенням Р( )( )...( ).