2. Блоково-ієрархічний метод проектування складних систем

Проектування складних систем вимагає залучення до роботи великої кількості спеціалістів і значного періоду в часі. Прискорений розвиток техніки та технології не дозволяє розтягувати процес проектування в часі, так як за певний час проходить моральне старіння ідеї. Це протиріччя - все більша складність об’єктів проектування та необхідність скорочення термінів обумовлює нагальну потребу автоматизації проектування та необхідність розчленування об’єкту проектування на ієрархічні рівні та блоки.

Переваги блоково-ієрархічного методу проектування складних систем полягають у тому, що задача великої розмірності розбивається на задачі такої складності, що піддаються осмисленню та розумінню проектувальника і можуть бути розв’язані наявними технічними засобами і людськими ресурсами. Розбивання складної задачі на рівні та блоки дозволяє доручити рішення цих задач окремим проектувальникам, підрозділам або організаціям.

Проектування на кожному ієрархічному рівні - це деякий завершений процес, що передбачає прийняття рішення. Якщо задача має альтернативні шляхи вирішення, то доцільно вибрати найкращий варіант

.2.1. Схема процесу оптимізаційного проектування

3. Методи пошуку оптимальних рішень

Задачі пошуку оптимальних рішень розглядаються в окремому розділі математики - МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ в якому розробляються теорія і методи рішення задач на знаходження екстремуму функцій на множинах визначених лінійними або нелінійними обмеженнями. В залежності від виду створеної математичної моделі явища розрізняють такі задачі математичного програмування: лінійні та нелінійні, цілочислові та

динамічні. Кожний вид задач передбачає специфічну програму дій для вирішення задачі.

1. Лінійне програмування

Стандартна постановка задачі на пошук оптимального рішення формулюється так:

Знайти екстремум функції мети

Р=СіХ!+ С₂Х₂+...С_ПХ_Ш

на змінні якої накладені обмеження

а_пхі+аі2х2+... аі_пх_п<Ьі

а2іХі+ ^а22^х2+ - • • ^а2п^хп <^2 ^ат1^Х1^ ^ат2^х2^- • • ^атп^хп<^іт

за умов: ^хі>0 (І=1,п; ]=1,т; т>п)

де а, Ь, с - задані постійні величини.

Відомо кілька методів рішення задач лінійного програмування. Найпоширеніший сімплекс-метод, гнучкий і універсальний. Розроблене потужне математичне забезпечення, яке реалізує сімплекс-метод на ЕОМ.

Найкраще суть сімплекс-методу можна розглянути на прикладі рішення задачі пошуку екстремуму функції, яка залежить від 2-^х параметрів.

А=с₁х₁+ с₂х₂, якщо ац^хі+ аі2^х2<Ь_ь а2іхі+ а22х2 <Ь2, а₃іхі+ а₃2х2<Ь₃.

Рис. 2.2. С>сема рішення задачі Алгоритм рішення задачі:

• Знаждимо координати (^х_ь ^х₂) однієї з вершин;

• Знажщимо значення функції в цій точці;

• Знажщимо значення функції в наступній точці;

• Порівнюємо одержані значення функції і вибираємо краще;

• Переходимо на наступну вершину і перевіряємо наступні два значення функції та вибираємо краще

2. Нелінійне програмування

В загальному вигляді задача формулюється так:

Знайти екстремум функції мети

Р(х_ьх₂,...х_п)

за умов

§і(Хь Х2,^Хп)>0

§2(х_1? Х2,^Хп)>0

^(х_ь х₂,...х_п) >0

де ¥&_ь g2, .. .&п - нелінійні функції.

Найчастіше для пошуку екстремуму функції декількох змінних використовуються методи по-координатного спуску або градієнтного спуску.

1. Метод по-координатного спуску

Розглянемо схему пошуку за допомогою методу по-координатного спуску з постійним кроком, координата якого розраховується із залежності

х^⁺¹=х^+1і-і, і = 1,2---гг^.

Кількість кроків по ]-й координаті вибирається із умови, що наступне розраховане значення функції мети є меншим за попереднє

Р(Хі,Х2,"(х^х + Ь• т_і),"Хп) <Р(Хі,Х2,"(Х¹^ +Ь^ -1)),"Хп) .

Якщо ця умова не справджується, то міняється номер координат. Якщо ж розрахунок проведений по всіх координатах і по жодній з них не досягнуто зменшення функції мети, то зменшується крок зміни координат, найчастіше на половину.

Умовою завершення пошуку мінімального значення функції мети є запроектована точність розрахунків (є), що визначається нерівністю

^А(х1^,х2^,"^(хХ + ^Ь ^ * 'О -^Р(х1^,:^'• • <^хХ +^Ь • ^(т -¹⁾⁾" •^Хп⁾ < ^Є

Рис. 2.3. Схема реалізації методу по-координатного спуску

3. Метод градієнтного спуску

Метод градієнтного спуску передбачає вибір такого напряму зміни координат руху, на якому функція міняється найкращим чином. Градієнт функції мети розраховується за формулою

₈гаа₍х_1>х₂,"х_п) = {(^аР(хі’Х!’"'Ч-^Хд) )■

д

дХі

х_г

Крок зміни ]-ї координати в наступній точці визначається за формулою

х^х+1 = х^х + Ь. • §гаа(хі,х₂," Х_п).

Пошук оптимального значення триває до тих пір, поки не стане задовольнятись умова

Р

Рис. 2.4. Схема реалізації методу градієнтного спуску

і+і-Бі < є.

Х₉