Глава III. Степень с натуральным показателем

§ 7. Степень и её свойства

18. Определение степени с натуральным показателем

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде выражения, называемого степенью. Например:

Повторяющийся множитель называется основанием степени, а число повторяющихся множителей – показателем степени.

Так, в выражении 5⁷ число 5 – основание степени, а число 7 – показатель степени.

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется выражение aⁿ, равное произведению n множителей, каждый из которых равен a. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Запись аⁿ читается так: «а в степени n», «n-я степень числа а».

По определению степени

Вообще

Нахождение значения степени называют возведением в степень.

Приведем примеры возведения в степень:

При возведении в степень положительного числа получается положительное число; при возведении в степень нуля получается нуль.

При возведении в степень отрицательного числа может получится как положительное число, так и отрицательное. Например:

Степень отрицательного числа с четным показателем – положительное число.

Степень отрицательного числа с нечетным показателем – отрицательное число.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, т.е. при любом а.

При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.

В качестве проверки знаний учащихся по теории данного пункта «18. Определение степени с натуральным показателем» можно предложить следующую карточку «с пропусками». Т.к. прочные знания по теории дадут возможность лучше решать примеры и задачи.

Заполните пропуски в следующих карточках

Степенью числа а с _____________________n, большим 1, называется выражение an, равное ____________ n множителей, каждый из которых равен a. Степенью числа а с показателем 1 называется_____________________________________________.

Что означают а и n в выражении а – __________________________________, n – ______________________________________.

При возведении в степень положительного числа получается ________ _____________; при возведении в степень нуля получается __________.

Степень отрицательного числа с четным показателем – ____________. Степень отрицательного числа с нечетным показателем –___________.

Квадрат любого числа есть _________________________ или нуль, т.е. при любом а.

19. Умножение и деление степеней

Выражение представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:

Значит,

Мы видим, что произведение равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней. Аналогичным свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n

■ Для доказательства используем определение степени и свойства умножения. Представим выражение сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени

Таким образом,

□

Доказанное равенство выражает основное свойство степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней. Например:

Из основного свойства степени следует правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Приведем примеры:

1)

2)

3)

Выражение является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Оно имеет смысл при а≠0. Если а≠0, то это частное можно представить в виде степени с тем же основанием. Действительно, т.к. то по определению частного

Мы видим, что частное при а≠0 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Сделаем вывод и запишем в тетради следующее правило

Для любого числа а≠0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n,

■ Равенство будет доказано, если мы установим, что

Применив основное свойство степени, получим

Значит, по определению частного □

Из доказанного свойства следует правило деления степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Итак, свойство деления степеней оформим в виде карточки-подсказки.

Приведем примеры:

1) 2)

Если формулу рассмотреть при m=n, то

Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком а≠0и любом натуральном n

то считают, что при а≠0

Определение. Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

Например, 2⁰=1, (–3,5 )⁰=1. Выражение 0⁰ не имеет смысла.