Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований

Основной принцип организации любой системы заданий – предъявление их oт простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблем­ных ситуаций. Указанный основной принцип требует конкретиза­ции применительно к особенностям данного учебного материала. Для описания различных систем заданий в методике математики используется понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характе­ризуется соединением в последовательности упражнений несколь­ких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом.

Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие, тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассмат­риваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для прове­дения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества; в частности, организуются связанные с ним обороты речи.

Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заклю­чительном этапе – этапе синтеза циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы заданий, образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы исключаются наиболее простые по форму­лировкам или по сложности выполнения задания. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, от­носящихся к различным тождествам, в силу чего повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

Приведем конкретный пример цикла.

Пример 1. Цикл заданий для тождества

Выполнение первой группы заданий этого цикла происходит в следующих условиях. Ученики только что ознакомились с фор­мулировкой тождества (вернее, с двумя формулировками: «Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности данных выражений» и «Произведение суммы и разности двух выра­жений равно...»), его записью в виде формулы, доказательством. После этого приведено несколько образцов использования основан­ного на этом тождестве преобразования; в число разобранных примеров, в частности, могут входить примеры, аналогичные при­веденным ниже. Наконец, ученики приступают к самостоятельному выполнению упражнений.

Первая группа заданий

а) Представить в виде произведения: a₁) a² – b²; а₂) с² – 5²; а₃) 121 – k ².

б) Проверить верность равенства (100+ 1) ∙ (100 – 1)= 10000 – 1.

в) Раскрыть скобки в выражении (4ху + х²) ∙ (4ху – х²),

г) Вычислить: г₁) 49 ∙ 51; г₂) 25² – 24²; г₃) (10⁴ – 1) ∙ (10⁴+1).

д) Разложить на множители: д₁) k² – р²; д₂) 16 (ab)² – 9c²; д₃) х⁴ – у⁴.

е) Упростить выражение (a+b)² – (a – b)².

Вторая группа заданий

ж) Используя тождество при разложить на мно­жители многочлен х² – 5.

з) Исключить иррациональность в знаменателе дроби

и) Доказать, что если k – нечетное число, то k² – 1 делится на 4.

к) Функция задана аналитическим выражением

Избавиться от знака модуля, рассмотрев два случая:

л) Решить уравнение

В целом задания первой группы ориентированы на усвоение структуры тождества, операции замещения в простейших, принци­пиально наиболее важных случаях, и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством. Очень важное значе­ние имеет также обогащение языковых средств, показывающих раз­личные аспекты тождества. Представление об этих аспектах дают тексты заданий; учителю необходимо специально обращать на них внимание учеников.

Основные особенности и цели, раскрытые нами при рассмотрении первой группы заданий приведенного цикла, относятся к любому циклу упражнений, формирующему навыки использования тож­дества. Несмотря на то что по мере изучения материала курса алгебры и в дальнейшем, в курсе алгебры, происхо­дит постепенное формирование элементов алгебраической культуры, для любого вновь вводимого тождества первая группа заданий в цикле должна сохранять описанные здесь особенности; различия могут быть только в количестве заданий, на которых учитель рас­сматривает те или иные особенности изучаемого тождества. В отличие от первой вторая группа заданий в цикле направлена на возможно более полное использование и учет специфики именно данного тождества.

Задания второй группы предполагают уже сфор­мированные навыки использования изучаемого тождества для раз­ности квадратов (в наиболее простых случаях); цель заданий этой группы – углубить понимание тождества за счет рассмотрения раз­нообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам курса математики.

Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых, соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.

Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет область чисел, которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому в первую группу заданий циклов должно войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел. Приведем примеры таких заданий:

Пример. Вычислить

1) дробное число (m – целое, n – натуральное).

2) m и n – рациональные числа.

Доказательство тождеств

Значительная часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры, доказывается или по крайней мере поясняется. В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, используются свойства арифметических операций. Некоторые тождества имеют геометрическое доказательство, которые не только поучительны и наглядны, но и способствуют усилению межпредметных связей. Геометрические доказательства можно рассматривать наряду с доказательствами алгебраического характера.

Доказательства тождеств можно разделить на три типа в зависимости от того, насколько они удовлетворяют требованиям строгости:

а) неполностью строгие рассуждения, требующие использования метода математической индукции для придания им полной строгости. Эти доказательства применяются для вывода правил действий с многочленами, свойств степеней с натуральными показателями;

б) полностью строгие рассуждения, опирающиеся на основные свойства арифметических действий (т.е. на свойства, служащие аксиомами для понятия поля) и не использующие других свойств числовой системы. Основная область применения таких доказательств – тождества сокращенного умножения.

в) полностью строгие рассуждения, использующие условия разрешимости уравнений вида изучаемая элементарная. Такие доказательства характерны для вывода свойств степени с рациональным показателем.

Пример 1 (доказательство типа а). К этому типу относится доказательство основного свойства степени для натуральных показателей: Запись этого доказательства имеет вид:

Для того чтобы доказательство было усвоенным, после него рассматриваются примеры на произведение степеней с одинаковым основанием и числовыми показателями степени; может встретиться, скажем, такой пример: Такие примеры хорошо иллюстрируют способ доказательства свойства степени для частного случая. Для выявления структуры доказательства целесообразно рассмотреть пример, в котором показатели степени были бы достаточно велики, например, здесь упрощения, связанные с тем, что выкладки могут быть проведены полностью, в конечном виде, не применимы. На таких данных воспроизведение схемы доказательства сохраняет наиболее существенный момент – изображение произведения большого числа сомножителей (одинаковых) при помощи специального знака «…»:

В этом рассуждении числа (показателей степеней) играют роль переменных. По приведенному образцу можно повторить рассуждения для любого другого набора показателей степени, так что оно имеет общий характер. Отметим, что некоторые доказательства утверждений, существенных для курса алгебры, можно провести в нем только на такого рода примерах. В частности, правила действий с многочленами формируются в результате рассмотрения нескольких примеров, которые подготавливают общую словестную формулировку правила.

Пример 2 (доказательство типа б). Доказательства этого типа наиболее характерны для курса алгебры и одновременно наиболее просты. В них используются только сравнительно прочные навыки проведения действий с буквенными выражениями – «раскрыть скобки», «привести подобные слагаемые», «выделить общий множитель» и др. В силу своей простоты и доступности именно эти доказательства целесообразно проводить в развернутом виде, поясняя все сделанные переходы. При этом ученики смогут осознать смысл и приемы использования основных свойств арифметических действий.

Многие из утверждений, выражаемых формулами сокращенного умножения, допускают наглядно-геометрическую иллюстрацию. Целесообразно рассмотреть несколько примеров, моделируя на них алгебраические выкладки, и одновременно подчеркнуть, что алгебраическая формулировка и доказательство имеют большую область применимости – они охватывают и положительные и отрицательные числа, и нуль.

Пример 3 (доказательство типа в). Такие доказательства относятся к труднейшим в курсе школьной математики. Сложность их проведения обуславливается несколькими причинами. Наиболее существенная из них состоит в том, что в отличие от разобранных выше доказательств этого типа используют достаточно сложные логические средства.

В качестве примера рассмотрим доказательство свойства арифметического квадратного корня:

(1)

Доказательство опирается на следующую переформулировку определения квадратного корня: для неотрицательных чисел х, y равенства равносильны, при этом число y определено однозначно как функция от х. Из этой переформулировки следует, что (1) равносильно

(2)

Равенство (2) доказать уже сравнительно просто, однако приводящий к нему путь очень труден для учащихся.

Рассмотрим тождественные преобразования 7 класса на основе учебника по алгебре под редакцией С.А. Теляковского.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

§ 1. ВЫРАЖЕНИЯ

1. Числовые выражения

2. Выражения с переменными

3. Сравнение значений выражений

§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

4. Свойства действий над числами

5. Тождества. Тождественные преобразования выражений

§ 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

6. Уравнение и его корни

7. Линейное уравнение с одной переменной

8. Решение задач с помощью уравнений

§ 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

9. Среднее арифметическое, размах и мода

10. Медиана как статистическая характеристика

Для тех, кто хочет знать больше

11. Формулы 46

Дополнительные упражнения к главе I

ГЛАВА II. ФУНКЦИИ

§ 5. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

12. Что такое функция

13. Вычисление значений функции по формуле

14. График функции

§ 6. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

15. Прямая пропорциональность и её график

16. Линейная функция и её график

Для тех, кто хочет знать больше

17. Задание функции несколькими формулами

Дополнительные упражнения к главе II

ГЛАВА III. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

§ 7. СТЕПЕНЬ И ЕЁ СВОЙСТВА

18. Определение степени с натуральным показателем

19. Умножение и деление степеней

20. Возведение в степень произведения и степени

§ 8. ОДНОЧЛЕНЫ

21. Одночлен и его стандартный вид

22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень

23. Функции у = х² и у = х³ и их графики

Для тех, кто хочет знать больше

24. О простых и составных числах

Дополнительные упражнения к главе III

ГЛАВА IV. МНОГОЧЛЕНЫ

§ 9. СУММА И РАЗНОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ

25. Многочлен и его стандартный вид

26. Сложение и вычитание многочленов

§ 10. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА 135

27. Умножение одночлена на многочлен

28. Вынесение общего множителя за скобки

§ 11. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

29. Умножение многочлена на многочлен

30. Разложение многочлена на множители способом группировки

Для тех, кто хочет знать больше

31. Деление с остатком

Дополнительные упражнения к главе IV

ГЛАВА V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

§ 12. КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

§ 13. РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ

34. Умножение разности двух выражений на их сумму

35. Разложение разности квадратов на множители

36. Разложение на множители суммы и разности кубов

§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

37. Преобразование целого выражения в многочлен

38. Применение различных способов для разложения на множители

Для тех, кто хочет знать больше

39. Возведение двучлена в степень

Дополнительные упражнения к главе V

ГЛАВА VI. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ

40. Линейное уравнение с двумя переменными

41. График линейного уравнения с двумя переменными

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными

§ 16. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

43. Способ подстановки

44. Способ сложения

45. Решение задач с помощью систем уравнений

Для тех, кто хочет знать больше

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Дополнительные упражнения к главе VI

Задачи повышенной трудности

Исторические сведения

Сведения из курса математики 5-6 классов

Предметный указатель

Ответы

ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

§ 1. ВЫРАЖЕНИЯ