1. Рациональные выражения

В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т.е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения

В отличие от выражения

помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, т.к. для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение не имеет смысла при При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражения вида называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях a, b и c верно равенство

Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях a, b и c, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b≠0 и c≠0.

● Пусть Тогда по определению частного Умножим обе части этого равенства на с:

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

Так как bc≠0, то по определению частного

Значит,

○

Мы показали, что для любых числовых значений переменных a, b и c, где b≠0 и c≠0, верно равенство

(1)

Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами a, b и c понимают многочлены, причем b и с – ненулевые многочлены, т.е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же нулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например,

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

§ 2. Сумма и разность дробей

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.