ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕСИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Математический анализ

Методические указания, образцы выполнения и задания

контрольных работ

для студентов заочной, очно-заочной форм обучения направлений подготовки

«Экономика», «Менеджмент»

Калининград

2011

ВВЕДЕНИЕ

В процессе изучения математических курсов студент должен выполнить ряд контрольных работ. В данных методических указаниях даны основные теоретические сведения, образцы выполнения контрольной работы №3.

Задачи 41-50

Для решения задач 41-50 надо изучить следующий материал:

1. Первообразная и неопределённый интеграл [2], т.1, гл. X.

2. Основные свойства неопределенного интеграла [2], т.1, гл. X.

3. Основные формулы интегрирования [2], т.1, гл. X.

4. Непосредственное интегрирование [2], т.1, гл. X.

5. Метод замены переменной [2], т.1, гл. X.

6. Интегрирование по частям [2], т.1, гл. X.

7. Интегрирование рациональных дробей [2], т.1, гл. X.

Указанные разделы учебников содержат следующие основные теоретические сведения.

1. Первообразная и неопределенный интеграл

1.1. Во многих теоретических и прикладных вопросах математического анализа приходится решать задачу, обратную дифференцированию, а именно: по заданной производной или, что то же, по заданному дифференциалу , найти первоначальную функцию, так называемую первообразную функцию . Действие нахождения первообразных функций называется интегрированием функций. Функция называется первообразной для данной функции на отрезке [a, b, ], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство или, что то же, . Если функция имеет первообразную , то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении , где с – произвольная постоянная. Если функция является первообразной для , то выражение называется неопределенным интегралом и обозначается символом . Таким образом, по определению , если . При этом функцию называют подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, –переменной интегрирования, знак – знаком интеграла. Геометрически в системе координат графики всех первообразных функций от данной функции представляют семейство кривых, зависящее от данного параметра , которые получаются из другой путем параллельного сдвига вдоль оси (рис.1.

Рис. 1

Рис 5.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

2.1. т.е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2.2. т.е. дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

2.3. т.е. неопределенный интеграл от дифференциала любой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

2.4. где а – постоянная, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2.5.

т.е. интеграл алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций.

2.6. Если т.е. всякая формула

то и где интегрирования сохраняет

- любая дифференцируемая свой вид при подстановке

функция от x, вместо независимой

переменной любой

дифференцируемой

функции от неё.