6.3.3. Статистические детерминированные модели с дефицитом

В отличие от рассмотренных ранее статистических детерминированных моделей без дефицита в данном классе в данном классе дефицит допускается, и в отдельных случаях планирование дефицита позволяет снизить затраты. Рассмотрим модель оптимальной партии поставки, когда неудовлетворенные требования ставятся на учет.

При поступлении очередной партии вначале удовлетворяется задолженный спрос, а затем пополняется запас. Изменение запаса в такой системе показано на рис. 6.3.6.



Рис. 6.3.6. Динамика уровня запаса в модели с дефицитом при постановке на учет неудовлетворенных требований.

Здесь y – максимальная величина задолженного спроса; – максимальная величина наличного запаса; ₁ – время существования наличного запаса; ₂ – время дефицита. Обозначим через – убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени. Тогда издержки работы системы в единицу времени:

.

Оптимальные параметры системы:

, ,

, , ,

, .

Полезно иметь в виду, что .

Точка заказа определяется по формуле:

.

Если точка заказа равна отрицательной величине, то размещение заказа должно производиться при поставленных на учет требованиях.

Пример 6.3.5. Одним из наиболее популярных товаров магазина «Техника в быту» является водонагреватель. Спрос на этот товар установился и составляет 2600 единиц в год. Закупка водонагревателя у производителя обходится в 140 ден.ед. за один водонагреватель. Издержки хранения составляют 10% среднегодовой стоимости запасов. Стоимость оформления заказа — 50 ден.ед. Поступило предложение уменьшить запасы водонагревателей. Предполагается, что невыполненные заказы будут удовлетворены из новых поставок. Потери, связанные с утратой доверия покупателя, оцениваются в 20 ден.ед за нехватку одного водонагревателя в течение года.

Необходимо определить оптимальную величину партии водонагревателей и издержки, связанные с заказом и хранением товара при условии, что дефицит допустим. Найти величину экономии, которая достигается при введении системы планирования дефицита.

Решение. Оптимальная партия водонагревателей в условиях планирования дефицита равна:

.

Период возобновления заказа:

.

Минимальные затраты:

.

Если дефицит недопустим, то величина партии: , затраты: .

Таким образом, если универмаг будет использовать модель планирования дефицита, экономия составит

ден. ед.

Снижение затрат достигается за счет уменьшения затрат на хранение товара.

Модель с потерей неудовлетворенных требований. Пусть неудовлетворенные требования теряются. Изменения запаса в такой системе показаны на рис. 6.3.7.

Рис. 6.3.7. Динамика уровня запаса в модели с дефицитом в случае потери неудовлетворительных требований.

Здесь ₁ – время существования наличного запаса, ₂ – время существования дефицита (запас равен 0, требования не удовлетворяются и не ставятся на учет). Из-за дефицита система несет убытки. В простейшем случае издержки дефицита считают пропорциональными средней величине потерянных требований и времени ₂. Издержки одного цикла  составят

.

Издержки работы системы в единицу времени достигнут

.

Откуда

; ;

.

Отношение времени содержания запаса ко времени дефицита

,

то есть время существования наличного запаса так относится ко времени дефицита, как удельные издержки дефицита – к удельным издержкам содержания.

Пример 6.3.6. Годовая потребность машиностроительного завода в мел­косортовой стали (пруток диаметром 12 мм) составляет 300 т. В соответ­ствии с техническими требованиями в случае необходимости пруток ди­аметром 12 мм может быть заменен прутком диаметром 14 мм, цена которого за тонну на 20 ден. ед. больше. Условно-постоянные транспортно-заготовительные расходы на один заказ равны 21 ден. ед., годовые издержки по содержанию 1т в – 14 ден. ед. Определить оптимальный размер партии.

Решение. Поскольку во время отсутствия необходимого вида стали для производства продукции используется другой, более дорогой, то в задаче идет речь о системе с потерей неудовлетворенных требований.

Величина партии стали

Эта партия расходуется за время

.

Длина цикла .

В течение цикла более дорогой вид стали используется для изготовления продукции . Годовые затраты

Если бы дефицит не допускался, то величина партии была бы больше и составляла и затраты меньше В случае потери неудовлетворенных требований дефицит ведет к увеличению затрат.

Однопериодная модель управления запасами при случайном спросе Планирование осуществляется на конечном интервале времени, в начале которого производится пополнение запаса. На практике такие задачи возникают в торговле быстро выходящими из моды и сезонными товарами. Интерес для промышленных предприятий представляет задача закупки запасных частей для специального оборудования. Вместе с основным оборудованием запчасти могут быть поставлены по низкой цене, а позже по гораздо более высокой из-за необходимости повторного запуска производства.

Пусть спрос ν дискретная случайная величина, которая задается с помощью таблицы 6.4.1.

Таблица 6.4.1

ν	0	1	……	k	…..
p(ν)	p(0)	p(1)	……	p(k)	…..

Очевидно, что , а вероятность того, что спрос за рассматриваемый интервал времени не превысит уровня q

.

Введем обозначения:

α - покупная цена единицы продукции;

d - потери, связанные с нехваткой единицы продукции;

s – затраты на содержание единицы продукции;

β (β < α) – цена реализации неиспользованной продукции.

Будем считать оптимальной ту величину заказа, при которой математическое ожидание издержек функционирования системы минимально. При отклонении от оптимальной партии q^* издержки будут увеличиваться

Запишем функции издержек

,

.

Их разность

. (6.3.3)

Так как , подставляя в (5.3), получим

.

Аналогично из второго неравенства получим:

.

Итак, условие нахождения оптимальной партии сезонного запаса записывается следующим образом

или

.

Пример 6.3.7. Стоимость одной запчасти при изготовлении оборудования составляет 400 ден.ед. В случае ее нехватки предприятие несет потери 600 ден.ед. Неиспользованные запчасти в конце срока эксплуатации реализуются по 200 ден.ед. Издержки содержания пропорциональны остатку и составляют 25% от первоначальной стоимости. Данные о потребности в запчастях представлены в таблице.

Таблица 5.2

ν	р(ν)		р(ν ≤ q)
0-10	0,12	5	0,12
10-20	0,18	15	0,30
20-30	0,25	25	0,55
30-40	0,20	35	0,75
40-50	0,15	45	0,90
50-60	0,10	50	1,00

Определить количество запчастей к оборудованию и среднее число неиспользованных запчастей.

Решение. Находим . Следовательно, оптимальный уровень запаса должен удовлетворять условию .

В последнем столбце таблицы представлена накопленная вероятность, следовательно, следует заказать к оборудованию запчастей. Среднее число неиспользованных деталей .

Издержки, связанные с приобретением, хранением и дефицитом составляют

(ден.ед.)