6.4. Алгоритм Фаррара—Глобера

Найповніше дослідити мультиколінеарність можна застосувавши алгоритм Фаррара—Глобера. Цей алгоритм має три види статистичних критеріїв, згідно з якими перевіряється мультиколінеарність усього масиву пояснювальних змінних ( — «хі»-квадрат); кожної пояснювальної змінної з рештою змінних (F-критерій); кожної пари пояснювальних змінних (t-критерій).

Усі ці критерії при порівнянні з їхніми критичними значеннями дають змогу робити конкретні висновки щодо наявності чи відсутності мультиколінеарності пояснювальних змінних.

7.2. Наслідки гетероскедастичності

За наявності гетероскедастичності оцінки параметрів, отримані 1МНК, як правило, залишаються незміщеними, обґрунтованими, але неефективними.

Нагадаємо, що дисперсія оцінок параметрів простої лінійної моделі визначається так:

; (7.1)

. (7.2)

У цих співвідношеннях дисперсія залишків є сталою, тому вона винесена за знак суми. За гетероскедастичності дисперсія буде змінюватись через зростаючий розкид значень залишків, тобто вона зростатиме. Це означає, що буде зростати дисперсія оцінок параметрів моделі, яка приводить до збільшення їхніх стандартних похибок.

Дисперсія оцінки у разі гетероскедастичності запишеться так:

. (7.3)

Порівнюючи обидва співвідношення дисперсій оцінок , бачимо, що , тобто дисперсія оцінки параметра за гетероскедастичності більша, ніж дисперсія цієї оцінки за гомоскедастичності.

Звідси інтервали довіри оцінок параметрів моделі також будуть більшими. Як наслідок, F та t-критерії дають неточні результати.

Таким чином, якщо не звертати увагу на гетероскедастичність і використовувати звичайні процедури перевірки гіпотез, то висновки будуть неправильними, тобто потенційно гетероскедастичність є серйозною проблемою.

Пояснимо сутність побудови моделі 1МНК за наявності гетероскедастичності.

Припустимо, що дисперсія залишків змінюється пропорційно до величини , де xij — i-те значення j-ї пояснювальної змінної, яка може викликати гетероскедастичність.

Тоді, щоб усунути гетероскедастичність, можна перетворити вихідну інформацію, поділивши кожну зі змінних на xij і до цієї інформації застосувати 1МНК.

Економетрична модель матиме вигляд:

(7.4)

У результаті для оцінювання параметрів можна застосувати 1МНК. Зауважимо, що параметри а0 і а1 помінялися ролями. Віль­ним членом моделі замість а0 стала оцінка параметра а1.

Параметричний тест Гольдфельда—Квандта. У випадку, коли сукупність спостережень невелика, розглянутий вище метод застосовувати недоцільно.

У такому разі Гольдфельд і Квандт запропонували розглянути випадок, коли , тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі:

Y = XA + u.

Для виявлення наявності гетероскедастичності згадані вчені склали параметричний тест, в якому потрібно виконати такі кроки.

7.2. Лінійні регресійні моделі зі змінною структурою. Фіктивні змінні

На практиці виникає необхідність досліджувати вплив якісних факторів, що мають два або кілька рівнів (градацій). Якісні ознаки можуть істотно впливати на структуру лінійних зв'язків між змінними й приводити до стрибкоподібної зміни параметрів регресійної моделі. У цьому випадку говорять про дослідження регресійної моделі зі змінною структурою.

Для опису таких змінних уводять фіктивні змінні, тобто використовують бінарні величини (0 та 1).

Наприклад, стать

середня школа, технікум, вища освіта

*Приклад 7.2

Необхідно дослідити залежність між результатами вступних і курсових екзаменів з математики.

X – число вирішених задач на вступних іспитах (завдання – 10 задач); Y – число вирішених задач на курсових іспитах (завдання – 7 задач); n – число студентів, n = 12.

Таблиця 7.3

I	xi	yi	Стать	i	xi	yi	Стать
1	10	6	Ч	7	6	3	Ж
2	6	4	Ж	8	7	4	Ч
3	8	4	Ч	9	9	7	Ч
4	8	5	Ж	10	6	3	Ж
5	6	4	Ж	11	5	2	Ч
6	7	7	Ч	12	7	3	Ж