3. Основні наслідки мультиколінеарності

Наявність мультиколінеарності під час оцінювання параметрів моделі 1МНК може призвести до негативних наслідків, які можуть значно знизити практичну цінність здобутих кількісних характеристик зв’язку або зробити їх такими, що не відповідають основним властивостям цих оцінок, а через це не можуть бути використані на практиці взагалі.

1. Дисперсія і коваріація оцінок параметрів моделі різко збільшуються.

Нехай економетрична модель описує зв’язок залежної змінної Y із двома пояснювальними змінними X1 і X2.

Y = a₀ + a₂X₁ + a₂X₂ + u. (6.1)

Розрахункова модель на основі вибіркової сукупності спостережень запишеться у вигляді:

(6.2)

Подамо дисперсію оцінок параметрів цієї моделі так:

; (6.3)

; (6.4)

, (6.5)

де — дисперсія залишків;

— коефіцієнт парної кореляції між пояснювальними змінними x1 і x2;

— середні значення пояснювальних змінних x1 і x2;

— і-те значення відповідно першої та другої пояснювальних змінних.

Співвідношення дисперсій та коваріацій (6.3) — (6.5) записано згідно із загальною формою розв’язку системи нормальних рівнянь, коли всі змінні взято як відхилення від своєї середньої, а також формулою парного коефіцієнта кореляції між пояснювальними змінними:

,

яку було введено в загальні формули для відшукання оцінок і [5].

Зі співвідношень (6.3), (6.4) випливає, що зі збільшенням коефіцієнта кореляції між X₁ і X₂ дисперсії цих оцінок також збільшуються.

Такий самий висновок можна зробити на підставі співвідношення (6.5).

Тут відношення характеризує рівень збільшення коваріації між оцінками моделі, якщо коефіцієнт кореляції збільшуватиметься, бо ця частина співвідношення (6.5) стала для всіх значень пояснювальних змінних.

Так, якщо = 0,50, то  = 0,67;

= 0,60, то  = 0,93;

= 0,70, то  = 1,37;

= 0,80, то  = 2,22;

= 0,90, то  = 4,73;

= 0,95, то  = 9,74.

Звідси очевидно, що коли коефіцієнт кореляції збільшується, то збільшується і коваріація оцінок параметрів моделі, причому з наближенням коефіцієнта кореляції до свого граничного значення дисперсії оцінок параметрів та їхня коваріація зростають досить швидко. Наприклад, якщо = 0,95, то коваріація оцінок параметрів моделі перевищує своє значення за умови, що мультиколінеарність відсутня, майже в 10 раз, а дисперсії оцінок параметрів моделі будуть завищеними більш ніж у 5 раз.

2. Похибки оцінок параметрів значно збільшуються, відповідно збільшуються їхні інтервали довіри.

Адже стандартні похибки оцінок параметрів моделі обчислюються як корінь квадратний із дисперсій цих оцінок. Раніше ми показали, що дисперсії оцінок параметрів моделі значно збільшуються, а отже, стандартні та граничні похибки також збільшуються.

Якщо = 0,90, то похибка збільшиться в

.

Це означає, що інтервал довіри за наявності мультиколінеарності буде в 2,29 разу більший, ніж тоді, коли її немає.

3. Оцінки параметрів моделі можуть бути статистично незначущими. Статистична незначущість оцінок параметрів моделі може виявлятись на фоні високого рівня довіри до моделі в цілому. Це пояснюється не тим, що досліджувані пояснювальні змінні мають слабкий зв’язок із залежною, а наявністю їхнього взаємозв’язку.

Нагадаємо, що для оцінювання статистичної значущості оцінок параметрів моделі застосовуються t-критерії, в яких абсолют­не значення оцінки порівнюється з її похибкою. Оскільки в разі мультиколінеарності похибки значно збільшуються і збільшується також їхня кореляція, то t-критерії прямуватимуть до нуля. Трапляються випадки, коли існує мультиколінеарність, але економетрична модель в цілому є достовірною, статистично значущими є всі оцінки параметрів моделі. Тоді мультиколінеарність не є проблемою. У цих випадках оцінки параметрів мають такі числові значення, які попри збільшення стандартних похибок залишаються набагато більшими і, відповідно, статистично значущими. На мультиколінеарність можна не зважати і тоді, коли мета економетричного моделювання — лише прогнозування. Чим вище R2, тим точніший прогноз, але ця закономірність справджується лише доти, доки залежні змінні, що прогнозуються, мають однакову майже лінійну залежність з початковою матрицею пояснювальних змінних X.

З огляду на перелічені наслідки мультиколінеарності при побудові економетричної моделі потрібно мати інформацію про те, що між пояснювальними змінними не існує мультиколінеарності.

6.3. Ознаки мультиколінеарності

Коли серед парних коефіцієнтів кореляції пояснювальних змінних є такі, рівень яких наближається або дорівнює множинному коефіцієнту кореляції, то це означає можливість існування мультиколінеарності. Інформацію про парну кореляцію може дати симетрична матриця коефіцієнтів парної кореляції між пояснювальними змінними:

. (6.6)

Проте коли до моделі входять більш як дві пояснювальні змінні, то вивчення питання про мультиколінеарність не може обмежуватись інформацією, що її дає ця матриця. Явище мультиколінеарності в жодному разі не зводиться лише до існування пар­ної кореляції між пояснювальними змінними.

Більш загальна перевірка передбачає знаходження визначника (детермінанта) матриці rxx, який є детермінантом кореляції і позначається . Числові значення детермінанта кореляції задовіль­няють умову: .

Якщо , то існує повна мультиколінеарність, а коли  = 1, мультиколінеарність відсутня. чим ближче до нуля, тим певніше можна стверджувати, що між пояснювальними змінними існує мультиколінеарність. Незважаючи на те, що на числове значення впливає дисперсія пояснювальних змінних, цей показник можна вважати точковою мірою рівня мультиколінеарності.

Коли коефіцієнт частинної детермінації , який обчислено для регресійних залежностей між k-ю пояснювальною змінною та рештою, має значення, близьке до одиниці, то можна говорити про наявність мультиколінеарності.

Якщо в економетричній моделі знайдено мале значення оцінки параметра за високого рівня частинного коефіцієнта детермінації і водночас F-критерій істотно відрізняється від нуля, то це також може свідчити про наявність мультиколінеарності.

Якщо під час побудови економетричної моделі на основі покрокової регресії введення нової пояснювальної змінної істотно змінює оцінку параметрів моделі за незначного підвищення (або зниження) коефіцієнтів кореляції чи детермінації, то ця змінна перебуває, очевидно, у лінійній залежності від інших, що їх було введено до моделі раніше.

Усі ці ознаки мультиколінеарності мають один спільний недолік: ні одна з них чітко не розмежовує випадки, коли залежність між пояснювальними змінними істотна і коли нею можна знехтувати.