6. Способы приближенных вычислений по заданной формуле.

Наиболее распространенный вид вычислений – это вычисления по заданной формуле. Рассмотрим некоторые способы приближенных вычислений.

• 6.1 Вычисления по правилам подсчета цифр.

При вычислении этим методом явного учета погрешностей не ведется, правила подсчета цифр показывают лишь, какое количество значащих цифр или десятичных знаков в результате можно считать надежными. Сами эти правила основываются на выводах, вытекающих из формул для оценки погрешностей арифметических действий и функций (см. разделы 4 и 5). Приведем эти правила в систематизированном виде:

1. При сложении и вычитании приближенных чисел младший из сохраняемых десятичных разрядов результата должен являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними верными значащими цифрами исходных данных. (Когда точность исходных данных такова, что все они имеют десятичные знаки после запятой, т.е. являются десятичными дробями, правило формулируется более доступно: при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой. Количество десятичных знаков перед выполнением действия целесообразно уравнивать, округляя до одной запасной исходные данные с б льшим количеством десятичных знаков.) Следует избегать вычитания близких по величине чисел, а также при пооперационном применении правила для сложения и вычитания нескольких чисел подряд стараться производить действия над числами в порядке возрастания их абсолютных величин.

2. При умножении и делении приближенных чисел нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы в них было лишь на одну значащую цифру больше, чем в наименее точном числе. В результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

3. При определении количества верных цифр в значениях элементарных функций от приближенных значений аргумента следует грубо оценить значение модуля производной функции. Если это значение не превосходит единицы или близко к ней, то в значении функции можно считать верными столько знаков после запятой, сколько их имеет значение аргумента. Если же модуль производной функции в окрестности приближенного значения аргумента превосходит единицу, то количество верных десятичных знаков в значении функции меньше, чем в значении аргумента на величину , где – наименьший показатель степени, при котором имеет место < .

4. При записи промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют правила 1-3. В окончательном результате эта запасная цифра округляется.

Правила подсчета цифр носят оценочный характер и не являются методом строгого учета точности вычислений. Обычно их применяют тогда, когда быстро и без особых затрат нужно получить результат, не особо беспокоясь о его достоверности. Между тем практическая надежность этих правил достаточно высока в результате вычислительной вероятности взаимопогашения ошибок, не учитываемой при строгом подсчете предельных погрешностей. При операционном учете ошибок вычислений используется обычная расчетная таблица – так называемая расписка формулы.

Пример 1.9. Вычислите значение величины:

(1.11)

по правилам подсчета цифр для приближенных значений и , у которых все цифры верны.

Вычисления приведены в таблице 1.3:

Таблица 1.3.

a	b							A
2,156	0,927	8,637	0,9628	9,600	0,8593	3,0153	1,1037	8,698

Прокомментируем ход вычислений. Сначала вычислим . Это же дает нам и оценку величины производной в этой точке: < , т.е. в полученном значении следует сохранять на один десятичный знак меньше, чем в значении аргумента. Округляя с одной запасной цифрой, получаем 8,637 (запасная цифра выделена) и заносим результат в таблицу. Далее вычисляем =0,9628083, причем модуль производной ( ) меньше единицы, поэтому сохраняем после запятой три знака и один запасной: 0,9628. При вычислении суммы в числителе находим 8,637+0,9628=9,5998 и , согласно правилу 1, округляем результат до тысячных: 9,600. При вычислении пользуемся правилом 2, а при нахождении суммы - правилом 1.

При определении количества верных цифр в значении снова применяем правило 3 (учитываем, что производная функции при х>1 имеет значение меньше единицы). Округляя окончательный результат без запасной цифры, получим А=8,70 (три верные значащие цифры).

• 6.2 Вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей.

Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей, рассмотренных в подразделах 4 и 5. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей – для результатов и их погрешностей. В таблице 4 приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей по той же формуле, что и в примере 1.9, и в предположении что исходные данные и имеют предельные абсолютные погрешности (т.е. у и все цифры верны в строгом смысле). Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности); значения погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе (см. таблицу 1.4).

Таблица 1.4.

a	b							A
2,156	0,927	8,637	0,9628	9,603	0,860	3,016	1,104	8,70
a	b	( )	( )	( )	( )	( )		A
0,0005	0,0005	0,0044	0,00027	0,0054	0,0016	0,0021	0,00076	0,016

Используя калькулятор, имеем =8,63652. Подсчитаем предельную абсолютную погрешность (см. табл. 1.2): =0,0043182 0,0044. Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой: 8,637 (запасная цифра выделена) и вносим его в таблицу. Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а также округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: .