6.1. Постановка задачи.

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

(6.1)

О сновная задача, связанная с этим уравнением, известна как задача Коши: найти решение уравнения (6.1) в виде функции удовлетворяющей начальному условию

(6.2)

Геометрически это означает (рис. 6.1), что требуется найти ин­тегральную кривую , проходящую через заданную точку , при выполнении равенства (6.1).

Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (6.1) обеспечиваются следующей теоремой.

Рис. 6.1. Геометрическая иллюстрация решения дифференциального уравнения

Теорема Пикара. Если функция определена и непрерывна в некоторой плоской области , определяемой неравенствами (6.3)

и удовлетворяет в этой области условию Липшица по у: суще­ствует такое положительное число , что для любых точек

(6.4)

то на некотором отрезке существует, и притом толь­ко одно, решение у=у(х) урав­нения (6.1), удовлетворяющее начальному условию

Число М называется константой Липшица. Если имеет ограниченную в производную по , то . Величина вычисляется по формуле: , (6.5)

где (6.6)

Существует несколько классов дифференциальных уравнений первого порядка, для которых решение может быть найдено ана­литически (уравнения с разделяющимися переменными, одно­родные, линейные, в полных дифференциалах). Даже для таких уравнений решение не всегда удается довести до вида у = у(х), где у(х) — функция, с которой удобно работать дальше. Многие же дифференциальные уравнения, к которым приводят математичес­кие модели реальных процессов, не относятся к указанным клас­сам и аналитически решены быть не могут. Тем более это утверж­дение справедливо для систем дифференциальных уравнений и для уравнений старших порядков. По этой причине разработаны многочисленные методы приближенного решения дифференци­альных уравнений. Весьма условно, в зависимости от формы пред­ставления решения, эти методы подразделяются на три основные группы:

аналитические методы, применение которых дает приближен­ное решение дифференциального уравнения в виде формулы;

графические методы, дающие приближенное решение в виде графика;

численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы.

Ниже рассматриваются основные методы приближенного ре­шения обыкновенных дифференциальных уравнений первого по­рядка вида (6.1). Дифференциальные уравнения -го порядка: , для которых задача Коши состоит в на­хождении решения у=у(х), удовлетворяющего начальным услови­ям: , где — заданные числа, можно свести к системе дифференциальных урав­нений первого порядка. Так, например, уравнение второго по­рядка: у"=f(x, у, у') можно записать в виде системы двух урав­нений первого порядка:

Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений основываются на соответствующих методах решения одного уравнения.

6.2 Метод Эйлера.

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения дифференциального уравнения, однако, этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной табличной форме.

Пусть дано уравнение (6.1) с начальным условием (6.2) (т.е. поставлена задача Коши). Вначале найдем простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке , где достаточно малый шаг. Заметим, что уравнение (6.1) совместно с начальным условием (6.2) задают направление касательной к искомой интегральной кривой в точке . Двигаясь вдоль этой касательной (рис. 6.2), получим приближенное значение решения в точке :

. (6.7)

Р асполагая приближенным решением в точке , можно повторить описанную процедуру: построить прямую, проходящую через эту точку под углом определяемым условием , и по ней найти приближенное значение решения в точке . Заметим, что, в отличие от ситуации изображенной на рисунке 6.2, эта прямая не есть касательная к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна. Однако представляется интуитивно ясным, что если h достаточно мало, то получаемые приближения будут близки к точным значениям решения.

Рис. 6.2. Иллюстрация первого шага метода Эйлера

Продолжая эту идею, построим систему равноотстоящих точек Получение таблицы значений иско­мой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

(6.8)

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера приведена на рис. 6.3. Вместо интегральной кривой в

Рис. 6.3. Построение ломаной Эйлера

реальности получается со­вокупность прямых (так называемая ломаная Эйлера).

Методы численного интегрирования дифференциальных урав­нений, в которых решение получается от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера — простейший представи­тель семейства пошаговых методов.

Отметим, что оценка погрешности метода при таком элемен­тарном рассмотрении невозможна даже на первом шаге. Кроме того, особенностью любого пошагового метода является то, что, начиная со второго шага, исходное значение формуле (6.8) само является приближенным, т.е., вообще говоря, погрешность на каждом следующем шаге систематически возрастает.

Наиболее используемым эмпирическим методом оценки точ­ности как метода Эйлера, так и других пошаговых методов при­ближенного численного интегрирования обыкновенных диффе­ренциальных уравнений является способ двойного прохождения заданного отрезка — с шагом ис шагом . Совпадение соот­ветствующих десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает эмпирические основание считать их верными (хотя полной уверенности в этом быть не может).

Таблица 6.1

0	0	1,3	0,05
1	0,2	1,35	0,16
2	0,4	1,52	0,25
3	0,6	1,77	0,32
4	0,8	2,09	0,38
5	1,0	2,47

Одна из принципиальных трудностей всех пошаговых методов численного решения дифференциальных уравнений состоит в воз­можности столкнуться с неустойчивостью метода. Оценка погреш­ности неявно предполагает, что ломаная приближенного реше­ния (см. рис. 6.3) хотя и не совпадает с интегральной кривой, но качественно на нее похожа. Чаще всего это именно так, но иногда (например, при неудачном выборе шага ) приближенное реше­ние может быть качественно непохожим на точное (например, точное монотонно убывает, а приближенное монотонно возра­стает). Для эмпирического контроля того, не имеет ли места неус­тойчивость, следует численно интегрировать уравнение с несколь­кими, значительно отличающимися, значениями шага , сравни­вая качественно поведение решений.

Пример 6.1. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение с начальным значением на отрезке , приняв шаг h = 0,2.

Результаты вычислений с двумя знаками после запятой приве­дены в табл. 6.1. Порядок вычислений вполне очевиден: вначале находим , затем и т.д. Алгоритм метода Эйлера легко реализовать на ЭВМ. Блок-схе­ма алгоритма решения дифференциального уравнения вида (6.1) методом Эйлера изображена на рис. 6.4. Исходными данными яв­ляются: начальные значения и , шаг интегрирования и пра­вая граница отрезка интегрирования .