4.5. Интерполяционные формулы Ньютона.

Рассмотрим другой способ построения интерполяционного многочлена. При этом, однако, не следует забывать, что по за­данной таблице, содержащей значения функции в п+1 узлов, интерполяционный многочлен n-й степени единственен (см. подразд. 4.2), и поэтому “новые” интерполяционные многочлены от­личаются от построенного по той таблице многочлена Лагранжа лишь внешним видом.

Тем не менее, они представляют ценность, поскольку вид (т.е. форма записи) многочлена определяет порядок и объем вычисле­ний, что в численных методах существенно.

Часто интерполирование ведется для функций, заданных таб­лицами с равноотстоящими значениями аргумента. В этом случае шаг таблицы h = х_i+1 -х_i (i = 0, 1, 2, ...) является величиной по­стоянной.

Для таких таблиц построение интерполяционных формул за­метно упрощается, и мы ограничимся получением интерполяци­онных формул Ньютона лишь для этого случая.

4.5.1. Конечные разности

Пусть функция задана таблицей вида табл. 4.1 с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах ин­терполяции называются конечными разностями первого порядка:

Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка:

Продолжая этот процесс, можно по заданной таблице функ­ции составить таблицу конечных разностей (табл. 4.4).

Таблица 4.4

x0	y0
x1	y1
				…
x2	y2
…				…
xn-1	yn-1
xn	yn

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Действительно, для разностей первого порядка это следует из определения. Для разностей второго по­рядка имеем :

Аналогично для разностей третьего порядка:

Методом математической индукции можно доказать, что

(4.12)

4.5.2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей (см. табл. 4.4). Будем ис­кать интерполяционный многочлен в виде

(4.13)

Это — многочлен n-й степени. Значения коэффициентов найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах.

Полагая х = х₀, из (4.13) находим у₀ = Р_n(х₀) = а₀, откуда a₀=y₀.. Далее, полагая х=х₁ получаем

откуда

При x=x₂ имеем

т. е. у₂ - 2 у₀ -у₀ = 2h²a₂, или у₂ – 2y₁ + у₀ = 2h²a₂, откуда

а₂ = ²y₀/2h².

Проведя аналогичные выкладки, можно получить а₂ = ³y₀/3!h³.

Исходя из этих формул, методом полной математической индукции можно доказать, что в общем случае выражение для а_k будет иметь вид

(4.14)

Подставим теперь (4.14) в выражение для многочлена (4.13)

(4.15)

Часто эта формула записывается в несколько ином виде. Введем вместо переменной х новую переменную t: , или, напротив, . Тогда

и т.д. После этого формула (4.15) примет вид

(4.16)

Формула (4.16) называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

Эта формула традиционно применяется для интерполирова­ния в начале отрезка интерполяции, для значений t в интервале (0,1). Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперед. Заметим, что путем переопределения узлов за начальное значение х₀ мож­но принимать любое табличное значение аргумента х (отбросив “лишние” узлы слева).

Пример 4.3. Построить интерполяционный многочлен Ньюто­на по следующим данным:

x	0,5	1	1,5	2	2,5
y	1,715	2,348	3,127	5,289	8,914

Построим таблицу разностей:

x	y
0,5	1,715
		0,633
1	2,348		0,146
		0,779		1,237
1,5	3,127		1,383		-1,157
		2,162		0,080
2	5,289		1,463
		3,625
2,5	8,914

Таким образом, многочлен Ньютона, представленный в фор­ме (4.15), имеет вид

Представим тот же многочлен в форме (4.16). Введем переменную и получим