2.2 Завдання на підготовку до лабораторної роботи

Для виконання лабораторної роботи та пояснення результатів експериментів необхідно пропрацювати загальні відомості для даної роботи та наведену літературу.

2.3 Контрольні питання

2.1 Назвати основні числові характеристики вибірки.

2.2 Описати параметри якими характеризують центр розподілу.

2.3 Що характеризує вибіркова дисперсія.

2.5 Як співвідноситься вибіркова дисперсія середнього значення із дисперсією самої вибірки?

2.6 Що таке дискретний розподіл?

2.7 Що таке відносна частота (частість) результату спостереження?

2.8 Що таке гістограма і що характеризує її форма?

2.9 Як будують гістограму?

2.10 Що таке полігон?

2.10 Що таке коефіцієнт асиметрії розподілу?

2.11 Що характеризує коефіцієнт ексцесу розподілу?

2.12 З якою метою застосовують теоретичні моделі дискретних густин розподілу?

2.4 Матеріали і устаткування

Результати експериментальних вимірювань надані для проведення лабораторної роботи.

2.5 Вказівки з техніки безпеки

Роботу виконують з дозволу викладача у відповідності з інструкціями із ТБ (додаток А).

2.6 Порядок виконання лабораторної роботи

Ознайомитись з методикою статистичної обробки експериментальних даних. Провести вимірювання запропонованих викладачем величин. Опрацювати експериментальні результати методами математичної статистики.

2.7 Зміст звіту

Тема, мета роботи, загальні відомості. Розрахунок статистичних величин. Аналіз отриманих результатів. Висновки.

2.8 Література

Дорожовець М. Опрацювання результатів вимірювань: Навч. посібник [Текст] / М. Дорожовець – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2007.– С. 76 – 127.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2 ЗАСТОСУВАННЯ ЗАКОНУ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ ГУСТИНИ ЙМОВІРНОСТІ ПРИ ОБРОБЦІ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ

Мета роботи: опанувати методику обробки експериментальних вибірок, що підкорюються нормальному закону.

3.1 Загальні відомості

Описання імовірнісних характеристик досліджуваного явища емпіричними (вибірковими) аналогами з застосуванням підходящих функцій, дозволяє експериментаторові по вибірці обмеженого обсягу, судити про властивості генеральної сукупності.

Якщо на підставі спостережень деякої безперервної властивості побудувати розподіл частот, то часто вона являє собою симетричну дзвіноподібну (нормальну) криву. Особливо часто подібну форму мають результати повторних вимірів показника якості продукції.

Відповідно до центральної граничної теорії ймовірностей нормальному розподілу підкорюється сума нескінченно великого числа нескінченно малих випадкових впливів які мають будь-які розподіли. Стосовно до вимірювань це означає, що нормальний розподіл випадкових похибок має місце тоді, коли на результат вимірювання діє багато випадкових впливів, ні один з яких не є переважним. на практиці сумарна дія невеликої кількості факторів приводить до закону розподілу результатів і похибок вимірювань близькому до нормального.

Аналітична форма цього розподілу або формула Гаусса виводиться з урахуванням наступного:

– похибки вимірів змінюються безперервно, приймаючи будь-які значення;

–похибки однакові за величиною, але різного знака зустрічаються однаково часто;

– чим більше значення похибки, тим менше ймовірність її появи.

Густина нормального розподілу виражається функцією

, (3.1)

де х – функція від y; f(y) – густина нормального розподілу; у – значення випадкової величини; М_у – математичне очікування теоретичного розподілу; ² і  – генеральна дисперсія й середнє квадратичне відхилення теоретичного розподілу (стандарт);  – число Пі, = 3,141593; е – основа натурального логарифма, е = 2,718282.

Як видно з формули (3.1), нормальний розподіл повністю визначається двома параметрами M_y і . При цьому M_y – характеризує положення центра групування результатів на числовій осі, а  – розсіювання результатів відносно M_y. Чим більше , тим крива більше полога й нижче її максимум.

Властивості нормального розподілу:

1. Крива симетрична щодо середнього значення .

2. Чим менші по модулю похибки тим частіше вони спостерігаються.

3. Максимум ординати кривої , і при  = 1 він становить 0,398942  0,4.

4. Криві нормального розподілу мають дві точки перегину з координатами (рис. 3.1). Ордината точки перегину дорівнює приблизно . За допомогою кривих нормального розподілу можна встановити, наскільки часто повинні з'являтися похибки тієї або іншої величини. Так, імовірність попадання результату виміру в інтервал дорівнює 68,27 %; в інтервал дорівнює 95,45 %; а в інтервал – 99,73 %. Таким чином, інтервал можна вважати граничним відхиленням.

Частіше на практиці дослідник зустрічається не з генеральною, а з вибірковою сукупністю і має справу з оцінками, що приблизно оцінюють й .

Рисунок. 3.1 ‑ Нормальний розподіл: стандартні відхилення й точки перегину (в % зазначена площа під кривою нормального розподілу)

До оцінок пред'являються вимоги обґрунтованості, незміщеності й ефективності.

Оцінка параметра називається обґрунтованою, якщо вона прагне до оцінюваного теоретичного значення параметра при . Обґрунтованість оцінки гарантує дослідникові збільшення точності оцінювання з ростом обсягу вибірки.

Оцінка параметра називається незміщеною, якщо при будь-якому числі спостережень (N) її математичне сподівання дорівнює значенню оцінюваного параметра. Незміщенність гарантує відсутність систематичної похибки ( ), що залежить від обсягу вибірки (N) і у випадку обґрунтованості при .У випадку коли можна знайти декілька незміщених оцінок кращою з них вважається та, що має найменшу дисперсію. Чим менша дисперсія оцінки, тим більш ефективною вважають цю оцінку.

Найкращою оцінкою , у випадку нормального розподілу, є середнє арифметичне вибірки ( ):

. (3.2)

Оцінкою дисперсії ² є вибіркова або емпірична дисперсія ( )

. (3.3)

Незміщенність оцінки досягається використанням у знаменнику формули (3.3) величини яку називають числом ступенів свободи f:

. (3.4)

Втрата одного ступеня свободи при обчисленні вибіркової дисперсії необхідна для обчислення середнього значення, без якого її не можна обчислити. У загальному випадку число ступенів свободи дорівнює кількості незалежних значень, що беруть участь у визначенні того або іншого параметра статистичної сукупності.

Ступінь розкиду випадкових величин навколо середнього значення також характеризує вибіркове середнє квадратичне відхилення S:

. (3.5)

Коефіцієнт варіації V (у відсотках) є мірою відносної мінливості (варіації) випадкової величини щодо середнього значення :

. (3.6)

Важливе значення в статистиці мають показники, наведені нижче, оскільки вони у відомій мірі характеризують надійність результатів спостережень.

Середня квадратична похибка середнього значення показує на скільки може відхилятися від "істинного" результату середнє арифметичне отримане за результатами спостережень:

. (3.7)

Важливими в статистиці є показник точності середнього значення  і похибка середнього квадратичного відхилення S_s:

; (3.8)

. (3.9)

Визначення довірчих границь для параметрів генеральної сукупності. Вибіркові числові характеристики, називаються точковими. Вони є надійними кількісними оцінками параметрів генеральної статистичної сукупності при великому обсязі вибірок, а при малому обсязі вибірки вони можуть виявитися грубими. При обмежених обсягах вибірки особливо важливо мати уявлення про точність і надійність генеральних характеристик. Таке уявлення про точність і надійність оцінок дають інтервальні оцінки, що дозволяють визначити величину максимальної похибки , яку ми припускаємо, коли прирівнюємо до .

Для вибірок малих обсягів ( ) закон розподілу похибки описується відомою функцією розподілу t-розподілом Ст’юдента. Використовуючи властивості цього розподілу можна знайти довірчий інтервал

, (3.10)

де – середня квадратична похибка середнього значення; – критерій t-розподілу Ст’юдента, що описує закон розподілу похибки (похибки між генеральним і вибірковим середнім) і залежить від N (додаток Б).

Для вибірок обсягом, , закон розподілу помилки довірчий інтервал визначається за формулою

, (3.11)

де U – величина для заданого рівня значимості приймається залежно від величини q і не залежить від N .

q	0,2	0,1	0,05	0,01	0,005	0,001
U	1,28	1,64	1,966	2,58	2,81	3,29

Нерівностями (3.10), (3.11) задається довірчий інтервал, у якому з імовірністю Р перебуває математичне сподівання. Однак вказівка тільки довірчої ймовірності або довірчого інтервалу позбавлено сенсу, тому що твердження, що вимірюване значення у_i величини Y попадає в інтервал без вказівки ймовірності, з якої ця подія відбудеться, не дає достатньо інформації. Потрібно ще вказувати і ймовірність, за якої дана подія відбудеться.

При проведенні: попередніх, оцінних експериментів довірчу ймовірність приймають ; відповідальних досліджень, варто приймати ; при вивченні слабких впливів, які важко виявити або якщо потрібний дуже високий ступінь довіри до результату, величину довірчої ймовірності приймають у межах .

При виборі довірчого інтервалу враховують, що чим точніше потрібний результат, тим вужчий повинен бути довірчий інтервал.

У багатьох випадках необхідно знати нижню границю довірчого інтервалу, тобто величину, нижче якої досліджуваний показник не може опускатися.

Визначення необхідного числа дослідів

Аналіз точності оцінки середнього значення , дозволяє знайти таку кількість дослідів N, при якому ймовірність Р відхилення вибіркового середнього від генерального середнього М_у на величину більшу , була б достатньо мала. Для визначення мінімально необхідного (репрезентативного) числа спостережень у вибірках малого обсягу користуються формулою

. (3.12)

Якщо дисперсія знайдена по вибірці обсягу , то замість величини t-критерію у формулі (3.12) можна користуватися величиною U, що залежить тільки від рівня значимості q.

Приклад 3.1. Необхідно визначити число спостережень, для одержання результату з імовірністю й точністю . За попередніми дослідами одержали . Запишемо формулу (3.12) у наступному виді

. (3.13)

Розрахуємо праві частини нерівності (3.13)

.

Повіримо нерівність (3.13) для при й за додатком Б, при вказаних значеннях q і f . Тоді ліва частина нерівності (3.13) буде

,

тобто нерівність (3.13) не виконана й обсяг вибірки потрібно збільшувати. Припустимо N=66. Розраховуємо ліву частину нерівності (3.13) при цьому значенні N

,

при й ; за додатком Б, нерівність (3.13) також не виконана і обсяг вибірки потрібно збільшити. Припустимо і знову розрахуємо ліву частину нерівності (3.13)

,

потім при й знайдемо значення за додатком Б

Нерівність (3.13) виконано. Отже, мінімальний обсяг репрезентативної вибірки, що забезпечує необхідну точність параметрів генеральної сукупності, буде .

Дане число спостережень можна провести в ході одного досліду, але при повторенні досліду, з якої-небудь причини, умови його протікання можуть змінитися, що спричинить зміни вихідного параметра, які при відсутності повторень досліду виявити неможливо.

Щоб урахувати цю обставину, проводять кілька повторень того самого досліду.