Неявная функция. Дифференцирование неявно заданной функции

Опр. Функция y=f(x) называется неявной функцией независимой переменной х, если она задана уравнением F(x;y)=0, не разрешаемой относительно y.

При подстановке y=f(x) в равенство F(x;y)=0 вместо у оно обращается в тождество, т.е. F(x;f(x))≡0.

Дифференцирование неявно заданной функции

F(x,y) y^|_x -?

Если зависимость между аргументом x и функцией этого аргумента у задана уравнением, неразрешенном относительно у, то для отыскания производной от y по x надо продифференцировать этого уравнения по х, рассматривая при этом у как функцию от х. разрешая полученное уравнение (х, у, х’, y’) относительноy’. Найдем у’ по х.

5

Понятие односторонних производных функции в точке.(критерий дифференцируемости функции в точке)

Если функция y=f(x) определена в левосторонней(или правосторонней) окрестности точки хо и существует и он конечен, то он называется производной функции y=f(x) в точке x₀ слева(справа)

Обоз: f’_(x₀) и f’₊(x₀)

Критерии дифференцируемости функции в точке

Функция y=f(x) дифференцируемa в точке x₀  , если существует f’(x₀), при этом dy(x₀)=f’(x₀)* x

Док-во:

Необходимость: f(x)- дифференцируемa в т. X₀ => f(x₀)=A x+O x, (разделим на x)

;

Найдем предел от дроби =A таким образом существует Y’(x₀)=A

Достаточность:

Существуетf’(x₀) и dy(x₀)=f’(x₀)* x тогда f (x₀)= f’(x₀)* x+O( x) => f(x) дифференцируемa в т. X₀

6.

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции в некоторой точке – главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной этой фунции в выбранной точке на приращение независимой переменной

Геометрически дифференциал равен приращению орди­наты касательной, проведенной к графику функции в точке хо.

Производная же численно равна угловому коэффициенту касательной.

Рассмотрим ^М0КN: tga=NK/M0N =>f’(x₀)= NK/ x, NK= f’(x₀)* x => NK-это диф-л ф-ции в тx₀

равен приращению, которое получает касательная, проведенная в точке М₀, соответствующая приращению ^x

7.

Производные высших порядков.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке (или промежутке). Тогда — есть первая производная или про­изводная первого порядка этой функции. Эта производная является функцией той же независимой переменной и, если эта функция диф­ференцируема, то - вторая производная или производ­ная второго порядка данной функции. И т.д.

Предположим, что f’’(x) имеет производную в (.) х Х, т.е. производная от 2-ой производной.

y’’’=(f’’(x))’

Этот процесс можно продолжить.

Предположим, что производная (n-1) порядка имеет пр-ную в (.) х Х

y⁽ⁿ⁾=(f⁽ⁿ⁾(x))’

Определение производной n-го порядка (n-ой производной) от ф-и f(x) в (.) х Х наз-ся производная от производной порядка (n-1).

(sinx)⁽ⁿ⁾=sin(x+/2n)

f’(x)=cosx=sin(x+/2)

f’’(x)=-sinx=sin(x+2*/2)

f’’’(x)=-cosx=sin(x+3*/2)

f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+n*/2) – гипотеза (*)

Док-во:

1) Проверить справедливость формулы(*) для n=1

f’(x)=sin(x+/2)=cosx

2) Предположим, что эта формула справедлива для n=k. Док-м, что она справедлива для n=2k+1

f^(k)(x)=sin(x+k*/2) – истинное равенство

f^(k+1)(x)=cos(x+k*/2)

f^(k+1)(x)=sin(x+k*/2 +/2)

f^(k+1)(x)=sin(x+(k+1)*/2)

Производная второго порядка есть производная от производной пер­вого порядка. Производная третьего порядка есть производная от производной второго порядка. Производная n - го порядка есть про­изводная от производной (n — 1) - го порядка

Функция называется n раз дифференцируемой в точке (или проме­жутке), если в этой точке (или промежутке) существуют все ее про­изводные до n - го порядка включительно.

Определение ф-ия имеющих в (.) х производные люб. порядка наз. ф-ей бесконечно дифференцируемой.

Пример: f(x)=e^x, f(x)=sinx, f(x)=cosx

8.