1.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (вывод)

Плоскость α проходит через точку М₀(x₀,y₀,z₀) , то ее уравнение может быть записано в виде А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0, которое можно переписать так: z-z₀=A₁(x-x₀)+B₁(y-y₀) (1)

(разделив уравнение на –С и обозначив А/-C=A₁, В/-C=B₁).

Найдем А₁ и В₁.

Уравнения касательных l₁ и l₂ имеют вид

z-z₀=f′_y(x₀,y₀)∙(y-y₀) , x=x₀;

z-z₀=f′_x(x₀,y₀)∙(x-x₀) , y=y₀;

соответственно.

Касательная l₁ лежит в плоскости α, следовательно, координаты всех точек l₁ удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

z-z₀=f′_y(x₀,y₀)∙(y-y₀)

x=x₀

z-z₀=A₁(x-x₀)+B₁(y-y₀)

Разрешая эту систему относительно В₁, получим, что В₁=f′_y((x₀,y₀).

Подставив значения А₁ и В₁ в уравнение (1), получаем уравнение касательной плоскости:

z-z₀= f′_x(x₀,y₀)∙ (х-х₀)+ f′_y(x₀,y₀)∙(y-y₀)

Прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:

2

Понятие точки перегиба. Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба.

Кривая называется выпуклой в интервале, если все лежат ниже любой касательной, проведенной к этой кривой в данном интервале

Кривая называется вогнутой в интервале, если все лежат выше любой касательной проведенной к этой кривой в данном интервале

Точки на кривой, разделяющие участки выпуклости и вогнутости, называются точками перегиба

Достаточные условия существования точек перегиба:

Если функция y=f(x) диффереренцируема в точке X_{0 ,}дважды диффереренцируема в U*( X₀) (в проколотой окрестности точки X₀) и f’’(x) меняет знак при переходе аргумента через точку X_0,, то X₀-точка перегиба.

Док-во:

Пусть f’’(X₀)=0 или не существует

А) если f’’(x)<0 для x U(x₀, ) и x<x₀-выпуклая

f’’(x)>0 для x U(x₀, ) и x>x₀-вогнутая

в т.x₀ выпуклость меняется на вогнутость => x₀ –точка перегиба

Б) если f’’(x)>0 для x U(x₀, ) и x<x₀-вогнутая

f’’(x)<0 для x U(x₀, ) и x>x₀-выпуклая => в т.x₀ выпуклость меняется на вогнутость => x₀ –точка перегиба

3.

Понятие производной функции в точке. Геом и физ смысл производной

- это предел и называется производной функции y=f(x) в точке х₀ и обозначается (или ).

Опр. Производной функции у=f(x) называется предел отношения функции к приращению аргумента при стремлении этого приращения к нулю.

(в предложении что это предел существует)

Если это предел существует, существует и производная в точке х₀, и функция называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Геометрический смысл производной

И з задачи о проведении касательной к графику функции =>, что угловой коэффициент касательной k=tgα=f’(x₀). Поэтому с геометрической точки зрения производная f’(x₀ есть tg угла наклона касательной проведенной к графику функции f(x) в (.) с абсциссой x₀.

T: y-y₀=f’(x₀)(x-x₀)–уравнение касательной

О1)Касательной к графику функции y=f(x) в точке

M₀(x₀,y₀) называется предельное положение секущей

М₀М при стремлении точки М по кривой к точке М₀

N:y-y₀=(1/f’(x₀))*(x-x₀)-норм-я прям-я(нормаль)

Значение производной функции в точке есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции данной точке.

Дифференцируемость функции в точке с геометрической точки зрения означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную. Если функция не дифференцируема в точке, то это означает, что касательная к графику функции в точке проходит вертикально ( ), или в точке к графику функции можно провести больше, чем одну касательную (производная не существует).

Физический смысл производной

Значение производной функции в точке есть мгновенная скорость изменения функции в данной точке.

Физический смысл производной зависит от физического смысла рассматриваемой производной.

Положительное значение производной в точке означает, что скорость изменения функции в этой точке положительна и, следовательно, функция растет. Отрицательное же значение производной говорит о факте ее убывания.

1)S=S(t)-путь пройд-й за t при нерав-ом прям-ом движ.

∆S/∆t=Vcp на [t₀,t₀+∆t]; V(t₀)=lim(∆t->0)∆S/∆t=S’(t₀)

Мгновен-я V (.) движ. прям. и неравн. есть произ-я от пути по времени.

2)Q=Q(t) кол-во электр-а протек-го через поперечн. сеч-е пров-ка за время t.

∆Q/∆t=I сред-я на промеж-е [t₀,t₀+∆t]

Сила тока в момент времени t₀ есть произ-е от кол-ва эл-ва по времени3)m=m(x) масса неоднор-й стержень в зав-ти от его длины; ∆m/∆x=ρср-сред-я плотность стержня на уч-ке[x₀,x₀+∆x]; ρ(x₀)=lim(∆x->0)∆m/∆x=m’(x₀) линейная плот-ть неод-го стержня в (.) x₀ есть произ-я от массы стержня по длине.

4)m=m(t)-кол-во вещ-ва, прореаг-го за t; ∆m/∆t=Vср-средняя скор реак-и на [t₀,t₀+∆t]; V(t₀)=lim(∆t->0)∆m/∆t=m’(t₀)- скор р-и в момент t есть произ-я массы по времени

4.