142. Формула полной вероятности и формула Байеса

Теория - это запас абстрактных понятий, утверждений, а также правил оперирования с изучаемыми (используемыми) объектами, которые не приводят к противоречиям.

Вероятность - мера уверенности в том, что событие при выполнении данного комплекса условий появится, т.е. характеристика среднего появления события.

Теория вероятности является математической дисциплиной, а это означает, что речь идет о наиболее общих формах и структурах представления знаний и правилах их использования или преобразования. Основными понятиями теории вероятностей является случайность (случайные события и величины) и вероятность, как некоторые функции, отображающие степень уверенности реализации тех или иных сценариев в будущем.

Случайным событием называется такое событие, которое при выполнении данного комплекса условия может произойти либо не произойти.

Важным аспектом является упоминание комплекса условий, потому что расширение выполняемого комплекса условий может привести к повышению шансов появления события, и в частности сделать его детерминированным, то есть вполне определенным.

Достоверное событие - это событие, которое при выполнении заданного комплекса условий всегда происходит.

Невозможное событие - это событие, которое при выполнении заданного комплекса условий никогда не происходит.

Теория вероятностей - это математическая дисциплина, содержанием которой являются методы преобразований средних величин.

В теории вероятностей с каждым случайным событием связывается некоторое число, которое называется вероятностью. Оно является мерой уверенности в том, что событие при выполнении данного комплекса условий появится. По существу это характеристика среднего появления события.

Можно выделить два подхода вычисления вероятности, как конкретного числа: классический и статистический

В классическом подходе используется принцип равновозможности исходов из некоторого множества, тогдаР(А)=NA/N. В этой формуле NA - это число исходов, благоприятствующих появлению событие А, а N - это общее количество всех возможных исходов.

Статистический (эмпирический) подход подразумевает, что в процессе реализации метода будут вычисляться некоторые средние.

В этой формуле n - это количество экспериментов, а vAn - количество зарегистрированных случаев появления события при проведении экспериментов.

Основное свойство вероятности определяется неравенством

При этом, если событие А является невозможным, то Р(А)=0, а если - это событие является достоверным, то Р(А)=1.

События Hi, где i=1…n, образуют полную группу событий, если они являются несовместными и исчерпывают все возможные исходы.

В связи с формулой полной вероятности и следствием из нее полную группу событий принято называть гипотезами.

Рассматривается событие А совместное хотя бы с одной из гипотез, то есть хотя бы для одного .

Тогда событие А может быть выражено как сумма несовместных событий A = AH1 + AH2+ ...+ AHn

Поэтому справедливо следующее соотношение: 1= (рис. 12)

, где P(Hi) - вероятность гипотезы, P(A/Hi) - условная вероятность события A при выполнении гипотезы Hi ( i= 1,2,...,n)

Это соотношение принято называть формулой полной вероятности.

Предполагается, что вероятности гипотез и условные вероятности появления события с каждой из этих гипотезе заранее известны.

Одним из следствий формулы полной вероятности является формула Байеса:

Эта формула породила целое направление, которое принято называть Байесовскими методами принятия решений. Формула Байеса определяет апостериорные вероятности т.е предполагается, что событие А произошло, а дальнейший интерес представляет оценка того, что событию А либо предшествовала, либо появилась одновременно с ним одна из гипотез, представляющих полную группу.

Одна из типичных задач, решаемых с помощью формулы Байеса – обнаружение сигнала, если на канал воздействуют помехи, и нужно определить, действительно ли в канале был сигнал или же только шум. В данном случае устанавливается некоторый порог.

Формула Байеса выводится на основе равенства ,

в которое вместо Р(А) подставляется формула полной вероятности (рис. 12).

Пример. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. Пусть событие A = {выбрать дефектный болт}.

Выдвигаем три гипотезы:

H1={болт изготовлен первой машиной}, P(H1)=0,25, P(A/H1)=0,05;

H2={болт изготовлен второй машиной}, P(H2)=0,35, P(A/H2)=0,04;

H3={болт изготовлен третьей машиной}, P(H3)=0,4, P(A/H3)=0,02.

a)

б)

143. Фракталы множества Мандельброта (Zn+1 = Zn2 +С)

Теория фракталов

Понятие фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Согласно Мандельброту, слово фрактал происходит от латинских слов fractus - дробный и frangere - ломать, что отражает суть фрактала, как "изломанного", нерегулярного множества. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Существует большое число математических объектов называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта и лоренцевы аттракторы). Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам..

Существует три класса фракталов: геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

Cтохастические фракталы, получаются в том случае, если в итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

Двумерные стохастические фракталы широко используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря, в компьютерных играх.

Алгебраические фракталы

Данный класс фракталов получают с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, пользуются терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Множество Мандельброта — это фрактал, определённый как множество точек с на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность не уходит в бесконечность.

Для каждой точки на комплексной плоскости последовательность может быть раскрыта следующим образом: , , , ... и так далее.

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду. Также есть набор кругов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, постепенно стремясь к нулю. Каждый из этих кругов имеет свой набор меньших кругов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от –1,78 до –1,75 на отрицательной оси действительных значений.

Множество Мандельброта является связным, а число итераций очень близко к логарифму электрического потенциала, который возникает, если зарядить множество Мандельброта. Точнее, предел ln(ln( | zn | ) / 2n) + const совпадает с этим потенциалом.

Обычно под названием «Множество Мандельброта» понимается только описанное выше множество. Однако любая функция комплексной переменной имеет соответствующее множество Мандельброта, которое также характеризуется наличием или отсутствием связного множества Жюлиа.

Алгоритм построения множества Мандельброта основан на итеративном выражении: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки с прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).