1.5 Постановка задачи использования ресурса

Для изготовления нескольких видов продукции P₁, Р₂,..., Р_n используют m видов ресурсов S₁, S₂,..., S_т. Это могут быть различные материалы, электроэнергия, полуфабрикаты и т.п. Объем каждого вида ресурсов ограничен и известен (b₁,. b₂, …, b_m).

Известно также a_ij (i = 1, 2, …, m, j = 1, 2,..., n) - количество каждого i - го вида ресурса, расходуемого на производство единицы j - го вида продукции. Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции (с₁, с₂,..., с_n),

Условия задачи можно представить в виде таблицы.

Питательное	Объем	aij
вещество	ресурсов	P1	P2	…	Pn
S1	b1	a11	a12	…	a1n
S2	b2	a12 aij	a22	…	a2n
...	…	…	…	…	…
Sт	bm	am1	am²	…	amn
Прибыль		c1	c2	…	cn

Таблица 1 – Условие задачи

Пусть х_j (j = 1, 2, …, n.) - количество каждого вида продукции, которое необходимо произвести.

Для первого ресурса имеет место неравенство-ограничение

a₁₁ х_{1 +} a₁₂ х _{2 + … +} a_1n х_n >= b₁

Аналогичные неравенства будут и для остальных видов ресурсов.

Следует учитывать также, что все значения

х_j > 0, j = 1,2,..., n.

Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции, может быть представлена как функция

Z(Х) = c₁ х₁ + с₂х₂ +... + с_nх_n

Если необходимо эту функцию максимизировать, то математическая модель задачи использования ресурсов запишется в виде

Z (Х) = c₁ х₁ + с₂х₂ +... + с_nх_n max,

a₁₁ х_{1 +} a₁₂ х _{2 + … +} a_1n х_n <= b₁

a₂₁ х_{1 +} a₂₂ х _{2 + … +} a_2n х_n <= b₂

………………………………………

a_m1 х_{1 +} a_m² х _{2 + … +} a_mn х_n <= b_m

х_j >= 0, j = 1, 2, …, n.

В более компактной форме целевую функцию и систему ограничений можно записать, используя знак суммирования,

Z(Х)=

,

i=1, 2, …, m.

1.6 Постановка задачи составления рациона питания

Требуется составить ежедневный рацион питания животного на основе имеющихся видов кормов так, чтобы общая стоимость использованных кормов была минимальной. При этом животное не должно получать менее определенного количества питательных веществ, например, таких, как жиры, углеводы, белки, витамины и т.п.

Каждый вид корма содержит разную комбинацию этих веществ. Известна цена единицы веса каждого корма.

Пусть имеются n различных кормов (продуктов) P₁, Р₂,..., Р_n и перечень из т необходимых питательных веществ S₁, S₂,..., S_т. Обозначим через a_ij содержание (в весовых единицах) i - го питательного вещества в единице j - го корма, а через b_i - минимальную суточную потребность животного в i - ом питательном веществе. Через х_j обозначим количество каждого вида корма в ежедневном рационе. Очевидно, что х_j >= 0.

Условия задачи можно представить в виде таблицы

Питательное					Суточная
вещество	P1	P2	…	Pn		потребность
S1	a11	a12	…	a1n		b1
S2	a12 aij	a22	…	a2n		b2
...	…	…	…	…		…
Sт	am1	am²	…	amn		bm
Стоимость 1 кг	c1	c2	…	cn		-
1 кг корма

Таблица 2 – Условие задачи

Для первого вида питательного вещества неравенство-ограничение примет вид

a₁₁ х_{1 +} a₁₂ х _{2 + … +} a_1n (2.2.1.)

х_n >= b₁

Аналогично запишутся неравенства и для остальных питательных веществ. Общие затраты на весь рацион питания животного можно найти на основе линейной функции

Z(Х)=c₁ х₁ + с₂х₂ +... + с_nх_n (2.2.2.)

Если эту функцию необходимо минимизировать, то математическая модель задачи составления рациона питания имеет вид

Z (Х) = c₁ х₁ + с₂х₂ +... + с_nх_n min,

a₁₁ х_{1 +} a₁₂ х _{2 + … +} a_1n х_n >= b₁

a₂₁ х_{1 +} a₂₂ х _{2 + … +} a_2n х_n >= b₂

………………………………………

a_m1 х_{1 +} a_m² х _{2 + … +} a_mn х_n >= b_m

х_j >= 0, j = 1, 2, …, n.