4. Внутригодовые процентные начисления

В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается вели­чина годовогопроцента и частота выплаты. В этом случае расчет ведется по формуле сложныхпроцентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходнойгодовой ставки по формуле:

Fn =P*(1+r/m)^k*^m, (12)

где r—объявленная годовая ставка;

m—количество начислений в году;

k—количество лет.

Пример: Вложены деньги в банк в сумме 5 млн. руб. на два года сполугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начислениепроцентов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастаниякапитала будет иметь вид:

Таблица 1 – Исходные данные

Период (месяцев)	Сумма с которой идет начисление	Ставка (в долях ед.)	Сумма к концу периода
6	5.000	1.1	5.500
12	5.500	1.1	6.050
18	6.050	1.1	6.655
24	6.655	1.1	7.321

Если воспользоваться приведенной формулой, то m = 2, k = 2, следовательно:

Fn = 5 * (1+20%/100%/2)⁴ = 7,3205 млн. руб.

Пример: В условиях предыдущего примера проанализировать, изме­нится ливеличина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялисьежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20%:4), а сумма к концу двухлетнего периода сос­тавит:

Fn = 5 • (1 + 0,05)⁸ = 7,387 млн.руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практичес­ких выводов:

• при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (этаошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

• чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем большеитоговая накопленная сумма.

5. Начисление процентов за дробное число лет

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, за­ключаемые на период,отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начислятьсяодним из двух методов:

• по схеме сложных процентов:

Fn = P * (1+r)^(w+f) (13)

• по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целогочисла лет и схема простых процентов — для дробной части года):

Рn=Р*(1+r)^w_*(1+f*r), (14)

Поскольку f< 1, то (1 + f*г) > (1 + г)^f, следовательнонаращен­ная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление про­центов осуществляетсяпо внутригодовымподпериодам, а продо­лжительность общего периода действияконтракта не равна це­лому числу подпериодов. В этом случае также возможноисполь­зование двух схем:

а) схема сложных процентов:

Fn=P•(l+г/m)^m*^k•(l+^r/m)^f (15)

б) смешанная схема:

Fn = Р_*(1 + r/m) ^m*^k_* (1 + f_*r), (16)

где k — количество лет;

m - количество начислений в году;

r — годовая ставка;

f — дробная часть подпериода.

Пример: Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев(т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременноговозврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какуюсумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисленияпроцентов:

а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

а) в этом случае продолжительность ссуды не является кратнойпродолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому воз­можно применениелюбой из схем, характеризуемых формулами, приведенными выше, и значениямисоответствующих параметров: w = 2; f=0,25;r= 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn = Р-(1 + r)^w+f= 120 *(1 + 0,16)^2.25 = 167,58 млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

Fn = Р • (1 + r)^w_* (1 + f * r) = 120 _* (1 + 0,16)²_* 1,04 == 167,93 млн. руб.

б) в этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентовосуществляется по внутригодовымподпериодам, а продолжительность общего периодадействия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужновоспользо­ваться формулами, когда базисный период равен полугодию, а параметрыформул имеют следующие значения: k = 2; f = 0,5; m = 2; r = 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn=P_*(1 +r/m)^m*^k_*(l+r/m)^f= 120_*(l+0,08)^4.5 = 169,66 млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

Fn=Р_*(1 + г/m) ^m*^k_*(1+ f*r/m) = 120_*(1 + 0.08)⁴_*(1 +1/2_*0,16/2) = 169, 79 млн. руб.

в) в этом случае продолжительность ссуды кратна продолжите­льности базисногопериода и можно воспользоваться обычной формулой сложных процентов, в которойn = 9, а r = 0,16/4 = 0,04.

Fn = 120_* (1 + 0,04)⁹ = 170,8 млн.руб.

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляетсяразличными темпами, причем с возраста­нием частоты накопленная суммаувеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дробле­нии годового интервала.