50. Закон Сохранения Механической Энергии

Если в замкнутой системе не действуют силы, трения и силы сопротивления, то сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел системы остается величиной постоянной.

Рассмотрим пример проявления этого закона. Пусть тело, поднятое над Землей, обладает потенциальной энергией Е₁ = mgh₁ и скоростью V₁ направленной вниз. В результате свободного падения тело переместилось в точку с высотой h₂ (E₂ = mgh₂), при этом скорость его возросла от V₁ до V₂. Следовательно, его кинетическая энергия возросла от

Запишем уравнение кинематики:

Умножим обе части равенства на mg, получим:

После преобразования получим:

Рассмотрим ограничения, которые были сформулированы в законе сохранения полной механической энергии.

Что же происходит с механической энергией, если в системе действует сила трения?

В реальных процессах, где действуют силы трения, наблюдается отклонение от закона сохранения механической энергии. Например, при падении тела на Землю сначала кинетическая энергия тела возрастает, поскольку увеличивается скорость. Возрастает и сила сопротивления, которая увеличивается с возрастанием скорости. Со временем она будет компенсировать силу тяжести, и в дальнейшем при уменьшении потенциальной энергии относительно Земли кинетическая энергия не возрастает.

Это явление выходит за рамки механики, поскольку работа сил сопротивления приводит к изменению температуры тела. Нагревание тел при действии трения легко обнаружить, потерев ладони друг о друга.

Таким образом, в механике закон сохранения энергии имеет довольно жесткие границы.

Изменение тепловой (или внутренней) энергии возникает в результате работы сил трения или сопротивления. Оно равно изменению механической энергии. Таким образом, сумма полной энергии тел при взаимодействии есть величина постоянная (с учетом преобразования механической энергии во внутреннюю).

Энергия измеряется в тех же единицах, что и работа. В итоге отметим, что изменить механическую энергию можно только одним способом - совершить работу.

51. Момент силы относительно точки и оси

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

Если известен радиус-вектор r точки приложения силы F относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:

MO(F)=r×F.

Действительно, модуль этого векторного произведения:

|MO|=|r×F|=|r||F|sinα.

В соответствии с рисунком |r|sinα=h, поэтому:

|MO|=|F|h.

Вектор MO, как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторам r и F, которые принадлежат плоскости Π. Направление вектора MO таково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение от r к F происходит по часовой стрелке. Другими словами, вектор MO достраивает систему векторов (r, F) до правой тройки.

Момент силы относительно оси

Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси.

Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы F на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:

Mz(F)=Mz(FΠ)=±FΠh.

Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила FП. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком ``плюс'', иначе - ``минус''.

52. В механике часто встречаются задачи, когда необходимо одновременно рассматривать несколько тел, движущихся по-разному. Таковы, например, задачи о движении небесных тел, о соударении тел, об отдаче огнестрельного оружия, где и снаряд и пушка начинают двигаться после выстрела, и т. д. В этих случаях говорят о движении системы тел: Солнечной системы, системы двух соударяющихся тел, системы пушка — снаряд и т. п. Между телами системы действуют некоторые силы. В Солнечной системе — это силы всемирного тяготения, в системе соударяющихся тел — силы упругости, в системе пушка — снаряд — силы давления пороховых газов.

Кроме сил, действующих со стороны одних тел системы на другие («внутренние» силы), на тела могут действовать еще силы со стороны тел, не принадлежащих системе («внешние» силы); например, на соударяющиеся бильярдные шары действуют еще сила тяжести и сила упругости стола, на пушку и снаряд также действует сила тяжести, и т. п. Однако в ряде случаев внешними силами можно пренебрегать. Так, при соударении катящихся шаров силы тяжести уравновешены для каждого шара в отдельности и потому не влияют на их движение; при выстреле из пушки сила тяжести окажет свое действие на полет снаряда только после вылета его из ствола, что не скажется на отдаче. Поэтому часто можно рассматривать движения системы тел, полагая, что внешние силы отсутствуют.

Начнем с простейшей системы, состоящей только из двух тел. Пусть их массы равны и, , а скорости равны и . Будем считать, что внешние силы на эти тела не действуют. Между собой же эти тела могут, взаимодействовать. В результате взаимодействия (например, вследствие соударения) скорости тел изменятся и станут равными и соответственно. Для тела массы m приращение импульса , где — сила, с которой на него действовало тело массы , a — время взаимодействия. Для тела массы приращение импульса , так как, согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой тело массы действует на тело массы , равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой тело массы действует на тело массы . Складывая оба выражения для приращения импульса, получим

отсюда

Таким образом, при отсутствии внешних сил суммарный импульс системы (векторная сумма импульсов тел, составляющих систему) в результате взаимодействия тел не изменяется. Иначе можно сказать, чтовнутренние силы не изменяют суммарного импульса системы. Этот результат совершенно не зависит от того, как взаимодействовали тела системы: долго или кратковременно, при соприкосновении или на расстоянии и т. п. В частности, из этого равенства следует, что если вначале оба тела покоились, то суммарный импульс системы останется равным нулю и в дальнейшем, если только на систему не подействуют силы извне.

Можно доказать, что и для системы, состоящей из большего чем два числа тел, суммарный импульс системы остается постоянным, если только внешние силы отсутствуют. Это важнейшее положение называют законом сохранения импульса. Закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов природы, значение которого не ограничивается только рамками механики. Если система состоит из одного тела, то для него закон сохранения импульса означает, что в отсутствие сил, на него действующих, импульс тела не изменяется. Это равносильно закону инерции (скорость тела не изменяется).

53. Внешние силы - это такие силы, которые действуют только на поверхность предмета, но не проникают внутрь его. К этим силам относятся все силы, развиваемые материальным объектом. Ну, например, нашей рукой. И происходит это по той причине, что наша рука не может проникнуть внутрь передвигаемого предмета. Конечно, мы могли бы разрезать этот предмет и добраться до его сердцевины. Но сделав эту операцию, мы создадим новые поверхности и воздействовать опять же будет только на поверхность, а не на атомы внутри предмета.

Внутренние силы - это такие силы, которые действуют сразу на все атомы передвигаемого предмета независимо от того, где они находятся: на поверхности или в середине предмета. К этим силам относятся силы инерции и силы поля: гравитационного, электрического, магнитного. И происходит это потому, что поле и носитель инерции физвакуум свободно проникают внутрь любого тела. Когда мы падаем вниз под действием гравитации, гравитационная сила действует сразу на все органы, белки, молекулы и атомы нашего тела.

54. Замкнутая система - это система, на которую внешние силы не действуют.

В физике замкнутой системой называется такая система, в которой сохраняется энергия. Эта система не обменивается энергией с окружающим миров и поэтому она не взаимодействует с окружающим пространством и не обменивается с ним ни энергией ни веществом. Если система замкнута, то на неё не действует никаких сил.

Незамкнутая система тел — это система тел, взаимодействующих между собой, на которую, кроме того, действуют и какие-то внешние, «посторонние» системе тела, внешние силы.

55. Закон сохранения импульса является следствием законов Ньютона и применяется для определения мгновенных скоростей тел после их взаимодействия.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина равная произведению массы тела на его скорость p^-> = mϑ^->, где m – масса тела, ϑ^-> – мгновенная скорость. Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов тел p_c^-> = p₁^-> + p₂^-> + p₃^-> + … + p_n^->.

Согласно первому закону Ньютона, если тела не взаимодействуют, сохраняется импульс каждого тела и импульс нескольких тел входящих в систему. При взаимодействии внутри системы, между телами возникают пары сил равные по величине и противоположные по направлению, согласно третьему закону Ньютона.

Векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы в течении некоторого промежутка времени называется импульсом силы и обозначается F^->Δt. Из второго закона Ньютона в случае действия одной силы и определения ускорения следует F^-> = ma^->, a^-> = (ϑ^->- ϑ₀^->)/Δt =>

F^-> = m(ϑ^-> – ϑ₀^->)/Δt => F^->Δt = mϑ^-> – mϑ₀^-> => … F^->Δt = p^-> – p₀^->

Это уравнение является законом сохранения импульса в импульсной форме. Импульс силы (равнодействующей) равен изменению импульса тела (материальной точки). В замкнутой системе взаимодействия происходят попарно, причем импульс одного тела изменяется на величину F₂₁^->Δt, импульс второго на F₁₂^->Δt, где F₁₂^-> – сила, действующая со стороны первого тела на второе и F₂₁^-> – сила действующая со стороны второго тела на первое.

Замкнутой назовем систему тел, взаимодействующих только между собой.

Импульс первого тела изменяется на величину F₂₁^->Δt, p₁^-> = p₀₁^-> + F₂₁^->Δt, импульс второго тела изменяется на величину F₁₂^->Δt, p₂^-> = p₀₂^-> + F₁₂^->Δt. Но импульс системы тел остается постоянной величиной

p₀₁^-> + p₀₂^-> = p₁^-> + p2^->, так как F₂₁^->Δt + F₁₂^->Δt = 0, поскольку F₁₂^-> = -F₂₁^->.

При любом взаимодействии двух тел внутри замкнутой системы импульс всей системы не изменяется. Сформулируем закон сохранения импульса.

Векторная сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной.

При использовании закона сохранения импульса в задаче делаем два схематических рисунка, показывая состояние системы тел до и после взаимодействия. Для решения векторных уравнений выбираем одинаковые системы координат.

Задача 1. Неупругий удар.

Вагон массой 30 т движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижной платформой массой 10 т. Найти скорость вагона и платформы после того, как сработает автосцеп.

Решение.

Систему можно считать замкнутой т.к. силы тяжести, действующие на вагон и платформу скомпенсированы силами реакции опоры.

p₀₁^-> + p₀₂^-> = p₁^-> + p₂^->

M1ϑ1^-> = (M1 + M2 )ϑ^->

ОХ: M₁ϑ₁ = (M₁ + M₂)ϑ

Отсюда: ϑ = M₁ϑ₁/(M₁ + M₂);

ϑ = (30*103*4) / (30*103 + 10*103) = 0,75 м/c

[ϑ] = (кг*м/с)/кг = м/с

Ответ. 0,75 м/c

Закон сохранения импульса также можно применить для незамкнутых систем, если взаимодействие тел происходит мгновенно и определяются скорости тел сразу после взаимодействия.

Задача 2. Разделение на части.

Граната, летящая со скоростью 20 м/с, разрывается на два осколка массами 1,2 кг и 1,8 кг. Больший осколок продолжает двигаться в том же направлении со скоростью 50 м/с. Найти скорость меньшего осколка.

Решение.

Система не замкнута на тело и его части действует сила тяжести, но так как разрыв происходит мгновенно, изменением импульса каждой части силой тяжести можно пренебречь. Применим закон сохранения импульса в векторном виде.

Mϑ^-> = M₁ϑ^->₁ + M₂ϑ^->₂

ОХ: Mϑ = M₁ϑ₁ + M₂ϑ₂

Отсюда: ϑ_2х= (Mϑ- M₁ϑ₁)/M₂

ϑ_2х = (3*20 – 1,8*50)/1,2 = -25 м/с

[ϑ] = (кг*м/с)/кг = м/с

Ответ.

Закон сохранения импульса может быть применен в проекциях на ось, если  проекция равнодействующей внешних сил на эту ось равна О. p_х = 0; p_01х + p_02х= p_1х + p_2х.

Задача 3. Выстрел под углом.

Из орудия, установленного на платформе массой М, производят выстрел снарядом массы m под углом a к горизонту и скоростью V  относительно земли, определить скорость платформы после выстрела.

Решение.

Система не замкнута, на тело во время выстрела действует дополнительная сила реакции опоры, которая сообщает снаряду импульс вдоль вертикальной оси ОY, ее проекция на горизонтальную ось ОХ равна 0, других сил, действующих вдоль оси ОХ нет, значит можно применить закон сохранения импульса в проекциях на ось ОХ.

p_х = p_1х + p_2х

ОХ : 0 = МU_x + mϑ_x

0 = МU_x + mϑcosα

U_x = m ϑcosα/М

[U] = (кг*м/с)/кг = м/с

56, 57. Абсолютно упругий удар - соударение двух тел, в результате которого в обоих участвующих в столкновении телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия тел до удара после удара снова превращается в первоначальную кинетическую энергию (отметим, что это идеализированный случай).  Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса.  Обозначим скорости шаров массами m₁ и m₂ до удара через ν₁ и ν₂, после удара - через ν₁' и ν₂' (рис. 1). Для прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, проходящей через их центры. Проекции векторов скоростей на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное соотнесем движению вправо, отрицательное - движению влево. 

Рис.1

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид  (1)  (2)  Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим   (3)  (4)  откуда   (5)  Решая уравнения (3) и (5), находим  (6)  (7)  Разберем несколько примеров.  1. При ν₂=0  (8)  (9)  Проанализируем выражения (8) в (9) для двух шаров различных масс:  а) m₁=m₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (ν₂=0) (рис. 2), то после удара остановится первый шар (ν₁'=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (ν₂'=ν₁); 

Рис.2

б) m₁>m₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (ν₁'<ν₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (ν₂'>ν₁' ) (рис. 3); 

Рис.3

в) m₁<m₂. При ударе направление движения первого шара изменяется - шар отскакивает обратно. При этом второй шар движется в сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. ν₂'<ν₁ (рис. 4); 

Рис.4

г) m₂>>m₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (8) и (9) следует, что ν₁'= -ν₁; ν₂' ≈ 2m₁ν₂'/m₂.  2. При m₁=m₂ выражения (6) и (7) будут иметь вид ν₁'= ν₂; ν₂'= ν₁; т. е. шары равной массы как бы обмениваются скоростями.  Абсолютно неупругий удар - соударение двух тел, в результате которого тела соединяются, двигаясь дальше как единое целое. Абсолютно неупругий удар можно продемонстрировать с помощью шаров из пластилина (глины), которые движутся навстречу друг другу (рис. 5). 

Рис.5

Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара ν₁ и ν₂, то, используя закон сохранения импульса    где v - скорость движения шаров после удара. Тогда   (15.10)  В случае движения шаров навстречу друг другу они вместе будут продолжать движение в ту сторону, в которую двигался шар с большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m₁=m₂), то    Определим, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие от их скоростей, а не от самих деформаций, то мы имеем дело с дисипативными силами, подобным силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии в этом случае не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит уменьшение кинетической энергии, которая переходит в тепловую или другие формы энергии. Это уменьшение можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:    Используя (10), получаем    Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (ν₂=0), то    и    Когда m₂>>m₁ (масса неподвижного тела очень велика), то ν<<ν₁ и практически вся кинетическая энергия тела переходит при ударе в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть значительно массивнее молота. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молота должна быть гораздо большей (m₁>>m₂), тогда ν≈ν₁ и почти вся энергия тратится на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.  Абсолютно неупругий удар - это пример потери механической энергии под действием диссипативных сил. 

58. Идеальный газ — это газ с достаточно простыми свойствами:

1. собственным объемом молекул можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ;

2. между молекулами идеального газа нет сил взаимодействия; они действуют только при столкновениях молекул;

3. молекулы идеального газа ведут себя при столкновениях как абсолютно упругие шарики.

59. Нормальные условия - физические условия, определяемые давлением P=101,325 КПа (360 мм.рт.ст., 1 нормальная атмосфера) и температурой T=273,15К (0°С), при которых молярный объём идеального газа V = 2,2414-10-2 м3/моль. 

60. Размерность давление – Па = 1 Н/м² = 1 (кг*м/с²)/м² = 1 кг мˉ¹ с²

Объём — м³

Температура — t(°С) = Т(К) — 273,15 

Концентрация — м⁻³

Плотность газа — к/м³

61. P*V=(m/M)*RT где m - масса газа, М - молекулярная масса, р - давление, V - объем, Т - абсолютная температура в градусах Кельвина, R - универсальная газовая постоянная. Для данной массы конкретного газа отношение m / M постоянно, поэтому из уравнения Клайперона-Менделеева получается объединенный газовый закон.

62. универсальная газовая постоянная Дж/моль*К

Постоянная Больцмана Дж/К

63. Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется   частиц массой   в некотором кубическом сосуде.

Так как молекулы движутся хаотически, то события, состоящие в движении в одном из шести направлений пространства, совпадающих с осями декартовой системы координат, равновероятностны.

Поэтому, в каждом из этих направлении движется   частиц.

Пусть все частицы обладают одинаковой скоростью  .

Каждая из частиц, сталкивающихся со стенкой, передаёт ей импульс  .

Если площадь стенки  , а концентрация -  , то количество частиц, сталкивающихся со стенкой за время   равно  .

Так как  , а   - суммарная сила взаимодействия частиц со стенкой, то подставив соответствующие значения получим  ,

так как  , то 

64. Под внутренней энергией (U) понимается вся энергия системы (тела) за исключением механической энергии системы как целого. Что именно входит во внутреннюю энергию системы? Сюда входит кинетическая энергия поступательного движения ее молекул, потенциальная энергия их взаимодействия между собой, энергия возбуждения колебаний и вращений молекул. Здесь перечислены лишь те виды энергии системы, которые могут меняться в рассматриваемых нами термодинамических процессах. Например, энергию возбуждения атомных ядер нужно будет включить, если будут рассматриваться температуры, при которых такое возбуждение может произойти.

Поскольку состояние термодинамической системы (например, газа) определяется величинами m, μ, V, T (давление P само определяется этими же величинами), то от них должна зависеть и внутренняя энергия U. Опустим пока постоянные для данного тела m и μ (ниже примем их во внимание), запишем U=U(V,T). Зависимость внутренней энергии от объема V связана с тем, что при изменении объема меняется расстояние между молекулами и, следовательно, потенциальная энергия их взаимодействия. Эта зависимость существенна только для реального газа. Для идеального газа внутренняя энергия должна зависеть только от температуры, т.е. U=U(T), так как температура определяет среднюю кинетическую энергию молекул.

65.Теплота– кинетическая часть внутренней энергии вещества, определяемая интенсивным хаотическим движением молекул и атомов, из которых это вещество состоит. Мерой интенсивности движения молекул является температура. Такое представление распространяется на все вещества – твердые, жидкие и газообразные. Простое движение одной молекулы в пространстве есть механическое движение, но не теплота. Теплота появляется только тогда, когда большое количество молекул движется хаотически в разные стороны, соударяясь между собой.

66. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ - закон сохранения энергии для термодинамич. системы, согласно к-рому работа может совершаться только за счёт теплоты или к--л. др. формы энергии. Поэтому работу и кол-во теплоты можно измерять в одних единицах - Джоулях (1 Дж = 0,239 кал = 0,102 кгс/м). П. н. т. сформулировано как закон природы Ю. Р. Майером (J. R. Мауег) в 1842 и установлено экспериментально Дж. Джоулем (J. Joule) в 1843. П. н. т. можно формулировать как невозможность существования вечного двигателя 1-го рода, к-рый совершал бы работу, не черпая энергию из к--л. источника.  Согласно П. н. т., теплота Q, сообщаемая системе, равна сумме приращения внутр. энергии U и работы, производимой системой против внеш. сил:

Q = U₂-U₁ + A; при бесконечно малом изменении состояния системы:

где  - бесконечно малое кол-во теплоты, передаваемой системе,  - работа, совершаемая системой против внеш. сил, dU - изменение её внутр. энергии.  Ур-ние (1) является определением величины dU, т. к.  и  - независимо измеряемые величины. П. н. т. утверждает, что dU есть полный дифференциал нек-рой ф-ции U (величины и , вообще говоря, не являются полными дифференциалами). Т. о., любая термодинамич. система обладает ф-цией состояния - энергией U, зависящей лишь от параметров, определяющих равновесное состояние системы, и не зависящей от процесса, к-рым система была приведена в это состояние. Передаваемое тепло Q и работа А зависят от пути, по к-рому совершается процесс, т. к. величины  и  не есть полные дифференциалы. В системах, обменивающихся со средой веществом и энергией, в П. н. т. следует учитывать энергию Z, передаваемую при переносе массы: Q = U₂ - U₁ + А + Z.  Энергию U можно экспериментально определить, измеряя работу, совершаемую адиабатически замкнутой термодинамич. системой (т. е. при Q = 0), тогда А_ад= U₂ - U₁, что определяет U с точностью до аддитивной постоянной. Работу А можно определить по изменениям параметров системы. Напр., при бесконечно малом расширении однородной системы (жидкости или газа) при давлении Р её работа  =PdV и, следовательно,  Ур-ние (1) в этом случае имеет вид   В общем случае, если система характеризуется п экстенсивными параметрами a_l, ..., а_пи обобщёнными силами Х₁, ..., Х_п, элементарная работа

67.Теплоемкость тела – это величина, характеризующая способность тела изменять свою температуру с подводом или отводом теплоты. Она равна количеству теплоты,  которое надо подвести к телу, чтобы изменить его температуру на 1 К:

   , Дж / К,

в дифференциальной форме, т. е. при подводе элементарного количества тепла:

. 

 Теплоемкость тела в общем случае не является характеристикой вещества (материала), из которого тело состоит. Она, в частности, будет зависеть от размеров тела. В зависимости от того, в каких единицах измеряется количество вещества – в килограммах, кубометрах, киломолях, различают:

 - массовую (удельную) теплоемкость:

  ,

 т.е. теплоемкость одного килограмма вещества;

 - мольную теплоемкость:

  ,

 т.е. теплоемкость одного киломоля вещества.