Вопрос 4

Что называют геометрической проекцией вектора? Приведите примеры. Что называют геометрической проекцией вектора? Приведите примеры. Геометрическая проекция вектора - это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси. Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.

Вопрос 5 Что такое орт. Приведите примеры.

ОРТ (от греч. orthos - прямой) - то же, что единичный вектор. Вектор величиной, или длиной 1 называется орт. Вектор v = < - 3/5, 4/5 > есть орт, потому что  |v| = |< - 3/5, 4/5 >| = √(- 3/5)² + (4/5)² = √9/25 + 16/25 = √25/25 = √1 = 1.

Пример 4 Найдите орт, который имеет то же самое направление, что и вектор w = < - 3, 5 >.

Решение Найдем сначала длину w: |w| = √(- 3)² + 5² = √34. Таким образом, мы ищем вектор, с длиной 1/√34 от w и с таким же самым направлением, что и вектор w. Этот вектор есть u = w/√34 = < - 3, 5 >/√34 = < - 3/√34, 5/√34 >. Вектор u есть орт, потому что  |u| = |w/√34| =   = √34/34 = √1 = 1.

Если v есть вектор и v ≠ O, тогда  (1/|v|)• v,          or          v/|v|, есть орт в направлении v.

Хотя орты могут иметь любое направление, орты, параллельные осям x и y особенно полезны. Они определяются как i = < 1, 0 >          and          j = < 0, 1 >.

Любой вектор может быть выражен как линейная комбинация орта i и j. Например, пусть v = < v₁, v₂ >. Tогда  v = < v₁, v₂ > = < v₁, 0 > + < 0, v₂ > = v₁< 1, 0 > + v₂ < 0, 1 > = v₁i + v₂j.

Вопрос 6.

Дайте определение скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов   и   будем обозначать как  . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид  , где   и  - длины векторов   и   соответственно, а   - угол между векторами   и  .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то  .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению   . Для любых векторов   и   справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. ;

2.  или  ;

3.  или  , где   - произвольное действительное число;

4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен  , причем  тогда и только тогда, когда вектор   нулевой.

Пример.

Вычислите скалярное произведение двух векторов   и  , если их длины равны 3 и 7единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Решение.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:  .

Вопрос 7 Дайте определение векторного произведения векторов. Приведите примеры. Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов   в трехмерном пространстве.

Отложим векторы   от одной точки. В зависимости от направления вектора   тройка   может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора   на то, как происходит кратчайший поворот от вектора   к  . Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов   называется правой, в противном случае – левой.

Теперь возьмем два не коллинеарных вектора   и  . Отложим от точки А векторы   и  . Построим некоторый вектор  , перпендикулярный одновременно и   и  . Очевидно, что при построении вектора   мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

В зависимости от направления вектора   упорядоченная тройка векторов  может быть правой или левой.

Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение.

Векторным произведением двух векторов   и  , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор  , что

• он является нулевым, если векторы   и   коллинеарны;

• он перпендикулярен и вектору   и вектору   ( );

• его длина равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними ( );

• тройка векторов   ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторное произведение векторов   и   обозначается как  .