4 .2.4 Задача к4. Визначення абсолютної швидкості і абсолютного прискорення точки при складному русі

ВКАЗІВКА 1. Задача К4 – на складний рух точки.

4.2.4.1 Стислі відомості з теорії кінематики складного руху точки.

Складний рух точки

Якщо об’єкт здійснює водночас не один, а декілька рухів, то такий рух об’єкта називається складеним або складним.

Детальніше розглянемо складний рух на прикладі складного руху однієї точки, яка може рухатись сама по собі або може здійснювати складний рух.

При розгляді складного руху точки в загальному випадку необхідно розглянути змінення векторів з течією часу у відношенні до систем відліку, які рухаються одна відносно іншої.

Нерухомою системою відліку вважається система, рух якої відносно інших систем відліку не розглядається.

Абсолютна і відносна похідні від вектора. Формула Бура

Введемо позначення похідних від вектора при зміненні його відносно різних систем відліку, які рухаються одна відносно іншої.

Рисунок 4.73

Для будь-якого вектора (рис. 4.73), його похідну за часом у відношенні до нерухомої системи відліку називають повною або абсолютною похідною і позначають . Похідну за часом при врахуванні зміни вектора відносно рухомої системи відліку називають відносною або локальною похідною і позначають .

Установимо залежність між відносною та абсолютною похідними за часом вектора і величинами, що характеризують рух рухомої системи відліку відносно нерухомої. Для цього розкладемо вектор на складові, паралельні осям рухомої системи координат.

. (4.80)

Підрахуємо повну похідну за часом від вектора , використовуючи формулу (4.80). Отримаємо:

. (4.81)

Перші три доданки враховують змінення вектора при незмінних , , і тому складають відносну похідну, тобто

. (4.82)

Похідні за часом від одиничних векторів визначаються за формулами Пуассона:

(4.83)

Підставимо значення похідних формул (4.82), (4.83) у (4.81) і винесемо за дужки, отримаємо

.

або з урахуванням формули (4.80)

. (4.84)

Отримана формула (4.84) називається формулою Бура.

Додавання швидкостей точки

Якщо – нерухома система осів координат, –рухома (рис. 4.74), то, як відомо, абсолютним рухом точки називають її рух відносно нерухомої системи осів координат, а відносним – її рух відносно рухомої.

Переносним рухом точки називають її рух разом з рухомою системою осів координат відносно нерухомих. Відносні швидкість і прискорення позначають і , переносні – і , абсолютні – і .

Рисунок 4. 74

Отримаємо теорему додавання швидкостей для довільного моменту часу

. (4.85)

Знайдемо похідну за часом від (4.85). Отримаємо:

. (4.86)

За визначенням:

– абсолютна швидкість точки ,

– абсолютна швидкість точки .

Для обчислення скористаємось формулою Бура (4.84). Похідна – відносна швидкість точки , а – кутова швидкість обертання рухомої системи відліку. Таким чином, із (4.86) отримуємо

, (4.87)

де – переносна швидкість точки . Із (4.87) отримуємо теорему додавання швидкостей точки:

. (4.88)