4.2.3 Задача к3

ВКАЗІВКА 1. Задача К3 – на дослідження плоскопаралельного руху тіла.

4.2.3.1 Стислі відомості з теорії кінематики плоско-паралельного

руху твердого тіла

Плоскопаралельним (або плоским) називається такий рух твердого тіла, при якому всі його точки переміщуються паралельно будь-якій фіксованій площині (рис.4.56) .

Рисунок 4.56

Плоский рух здійснюють багато частин механізмів і машин, наприклад колесо, яке котиться по поверхні, шатун в кривошипно-повзунному механізмі та інші. Розглянемо перетин тіла якою-небудь площиною , паралельною площині (рис.4.56).

При плоскопаралельному рухові всі точки тіла, що лежать на прямій , перпендикулярні перетину , тобто, площині , і рухаються тотожньо.

Тому в подальшому замість плоского руху тіла будемо розглядати рух плоскої фігури в її площині, тобто в площині . При цьому всі результати, які будуть отримані для точок плоскої фігури, справедливі й для точок твердого тіла.

Рівняння руху плоскої фігури

Положення фігури в площині визначається положенням якого-небудь проведеного на цій фігурі відрізка (рис.4.57). У свою чергу положення відрізка можна визначити, знаючи координати , точки і кут , який відрізок утворює з віссю .

Рисунок 4.57

Точку , обрану для визначення положення фігури , будемо далі називати полюсом. Під час руху фігури величини , і будуть змінюватись. Щоб визначити закон руху, тобто положення фігури в площині в довільний момент часу, необхідно знати залежності:

, , . (4.73)

Рівняння (3.1), які визначають закон здійснюваного руху, називають рівняннями руху плоскої фігури в її площині, вони ж є рівняннями плоскопаралельного руху твердого тіла.

Перші два рівняння (4.73) визначають той рух, який фігура здійснювала б при . Це очевидно, буде поступальний рух, при якому всі точки фігури рухаються так само, як полюс .

Третє рівняння визначає рух, який фігура здійснювала б при і , тобто коли полюс нерухомий. Це буде обертання фігури навколо полюса .

Звідси можна зробити висновок, що в загальному випадку рух плоскої фігури в її площині можна розглядати як складений із поступального руху, при якому всі точки фігури рухаються так само, як полюс , і із обертального руху навколо цього полюса.

Основними кінематичними характеристиками такого руху будуть швидкість і прискорення поступального руху, які дорівнюють швидкості та прискоренню полюса , , а також кутова швидкість і кутове прискорення обертального руху навколо полюса.

Значення цих характеристик у будь-який момент часу можна знайти, скориставшись рівнянням (4.73). При вивченні руху можна в якості полюса обирати будь-яку точку фігури.

Швидкість точок плоскої фігури

Залежність між швидкостями точок плоскої фігури встановлюється наступною теоремою: швидкість довільної точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса та обертальної швидкості цієї точки навколо полюса.

Точку , швидкість якої , оберемо полюсом. Визначимо швидкість будь-якої іншої точки плоскої фігури.

Рисунок 4.58

Для цього (рис. 4.58) проведемо із нерухомої точки площини до точок і радіус-вектори , і із полюса . Оскільки цей радіус-вектор з’єднує дві точки плоскої фігури, то за весь час руху він обертається навколо полюса з кутовою швидкістю плоскої фігури , не змінюючись за модулем.

Під час руху між радіус-векторами зберігається залежність:

де модуль .

Визначимо звідси швидкість точки :

де - швидкість полюса .

Оскільки під час руху плоскої фігури модуль радіус-вектора залишається незмінним, а напрямок його при обертанні фігури змінюється, то похідна є обертальною швидкістю точки навколо полюса , яку позначимо :

.

Обертальну швидкість можна зобразити у вигляді векторного добутку вектора кутової швидкості плоскої фігури на радіус-вектор :

.

Обертальна швидкість напрямлена перпендикулярно до відрізку , у бік обертання фігури, і має модуль

.

Після підстановки отримуємо

(4.74)

або

. (4.75)

Швидкість точки зображується діагоналлю паралелограма, відбудованого при точці на швидкості полюса (рис. 4.58).

Висновок 1. Проекції швидкостей точок плоскої фігури на вісь, що проходить через ці точки, рівні.

Вважатимемо, що в заданий момент часу відома швидкість точки плоскої фігури, напрям її обертання і модуль кутової швидкості фігури (рис. 4.59).

Рисунок 4.59

Оберемо точку в якості полюса, визначимо швидкості точок і плоскої фігури, лежачих на одній прямій з точкою :

, ,

причому обертальні швидкості цих точок навколо полюса і , напрямлені перпендикулярно до відрізків і у бік оберту фігури.

Проведемо вісь через точки , і і спроектуємо швидкості цих точок на вісь . Тоді

, ,

але і , так як вектори і перпендикулярні на осі . Тому

; ,

; ,

або .

Тобто проекції швидкостей всіх точок відрізка на вісь , напрямлені вздовж цього відрізка, рівні поміж собою.

Миттєвий центр швидкостей

Висновок 2. У загальному випадку для плоскої фігури існує така точка, швидкість якої дорівнює нулю. Така точка називається миттєвим центром швидкостей, і швидкості всіх точок розподіляються відносно неї як при простому обертанні.

Припустимо, що плоска фігура має дві точки і , швидкість яких відома (рис. 4.60). Відповідно до висновку 1 відрізки на прямій :

.

Рисунок 4.60

Проведемо перпендикуляри до векторів швидкостей точок і ( і ). Отримана точка перетину цих перпендикулярів – і є миттєвим центром швидкостей, оскільки вона задовольняє висновку 1, бо

, .

Тоді ,

де , .

Підставимо ці значення у попереднє рівняння:

,

або .

Точка є миттєвим центром швидкостей, отже і швидкість точки :

відповідає умові , тобто виконується висновок 1.

Наведені висновки спрощують визначення швидкостей точок або кутові швидкості плоского руху тіла.

При знаходженні миттєвого центру швидкостей (МЦШ) може виникнути ситуація, коли перпендикуляри до швидкостей точок співпадають. У такому випадку необхідно провести додаткову побудову. Наведемо такі приклади на рисунках 4.61 і 4.62.

Рисунок 4.61 Рисунок 4.62

Випадок, при якому швидкості як вектори паралельні між собою і перпендикуляри, проведені до них, не перетинаються, залишаються паралельними один одному (рис. 4.63), називається миттєвим поступальним рухом.

Це означає, що в даний момент часу всі точки тіла мають однакові за модулем і напрямком швидкості. Кутова швидкість , оскільки МЦШ знаходиться у нескінченності і .

Рисунок 4.63

Проте, хоч при звичайному поступальному русі не тільки швидкості, а й прискорення є однаковими, при миттєвому поступальному русі прискорення у загальному вигляді відрізняються.