Рішення

1 Для визначення рівняння траєкторії точки виключимо з заданих рівнянь руху час . З рівняння (1) , підставивши значення в рівняння (2), отримаємо:

. (3)

Рівняння (3) являє собою рівняння кубічної параболи та є рівнянням траєкторії точки у координатній формі. Тобто траєкторія точки знаходиться на кубічній параболі . У початковий момент часу положення точки визначається координатами М₀(-4;0). З плином часу вона рухається параболою в нескінченність правого квадранта (додатного) декартових координат.

2 Швидкість точки знайдемо за її проекціями на координатні вісі:

(см/с); (см/с);

при с; (см/с); (см/с);

(см/с); (4)

Вектори швидкості точки і його проекції на осі зображені на рис.2, а.

3 Аналогічно знайдемо прискорення точок:

; (см\с²);

при с;

(см/с²); (см/с²). (5)

4 Дотичне прискорення знайдемо шляхом диференціювання за часом рівності

; . (6)

Підставивши у вираз (6) чисельні значення отримаємо:

(см/с²);

5 Нормальне прискорення точки:

.(см/с²).

Вектор повного прискорення точки, його складові, дотичне і нормальне прискорення, а також проекції вектора прискорення на осі координат зображені на рисунку 2, б.

6 Радіус кривизни траєкторії:

Підставивши в останній вираз числові значення присутніх в ньому величин для с, знаходимо радіус кривизни траєкторії для цього моменту часу:

(см).

Відповідь: (см/с); (см/с²); (см/с²); (см/с²); (см).

Рисунок 4.40

Приклад 2

Дано: (см); (cм);

(c).

Знайти: вид траєкторії точки, положення точки на траєкторії, її швидкість, прискорення, складові прискорення, а також радіус кривизни траєкторії для моменту часу .

Рішення

1 Рівняння руху (1) можна рахувати як параметричні рівняння траєкторії точки. Щоб отримати рівняння траєкторії в координатній формі, виключимо параметр з рівнянь (1).

Отримаємо:

.

Отримане рівняння являє собою рівняння еліпса. Осі еліпса симетричні декартовим осям координат, а його центр знаходиться на осі Оу у положенні (0;-3).

2 Швидкість точки знайдемо за її проекціями на координатні осі:

(cм/с), ,

(см/с²), (см/с²).

За знайденими проекціями визначаються модуль швидкості:

.

та модуль прискорення точки:

Модуль дотичного прискорення точки ,

.

Модуль нормального прискорення точки .

Якщо радіус кривизни траєкторії р у точці, яку ми розглядаємо, невідомий, то можна визначити за формулою

.

При русі точки у площині формула набуде виду

.

Модуль нормального прискорення можна визначити також за формулами:

, , ^.

Відповідь: у=-4,73 см, х=-2см, V_x=3,63 cм/с, V_y= -1,04 cм/с, V=3,77 cм/с, =2,19 см/с², =1,89 см/с², =2,89 см/с², =14,22 см/с², =2,43 см/с², ρ=6,48.

Рисунок 4.41

Приклад 3

Дано: cм, см, c.

Знайти: рівняння траєкторії, .