Дәріс 9. Түзу сырықтардың иілуі

Негізгі түсініктер. Көлденең күш пен июші моменттер, олардың эпюрлерін салу

Бойлық өс арқылы өтетін жазықтықтарда (өс жазықтықтарында) жатқан көлденең бағытта түсірілген сыртқы күштер мен моменттердің (жұп күштердің) әсерінен сырықта пайда болған деформацияны иілу деп атайды. Иіліп деформацияланған сырықтар арқалық деп аталады. Сырықтың бойлық өсі мен көлденең қималарының бас инерция өстері арқылы екі бас жазықтык (V, Н) жүргізуге болады (1,а-сурет). Июші күштер бас жазықтықтардың бірінде жатса, онда иілу жазық иілу деп аталады. Жазық иілу кезінде сырықтың майысқан бойлық өсі (серпімді өсі) момент жазықтығында жатады. Сыртқы күштер бас жазықтықтардан басқа жазықтықтарда жатса, онда иілу қиғаш иілу деп аталады. Сырық қиғаш иілгенде, оның серпімді өсі мен әсер етуші моменттер әр түрлі жазықтықтарда жатады. Жазық иілген сырықтың көлденең қималарында ішкі күштер — көлденең күш пен июші момент пайда болады.

Е гер иілген сырықтың көлденең қималарында июші моменттен басқа ішкі күштер жоқ болса, яғни көлденең күш нөлге тең болса, ондай иілу таза иілу деп аталады. Таза иілу кезінде сырық симметриялық қасиеттерге байланысты шеңбер доғасы бойымен майысады.

Көлденең күш пен июші момент

Қос тұғырлы иілген сырықтың көлденен қималарындағы ішкі күштерді анықтайық (4-cypeт). Кез келген m-m қимасындағы ішкі күштерді табу үшін қималар тәсіліне сәйкес, сол қима арқылы сырықты екіге бөліп, бір бөлігін алып тастаймыз. Алып тасталынған бөліктің қалған бөлікке әсерін көлденең күш пен июші моментпен алмастырамыз (4, б-сурет). Қалған бөлік сыртқы күштер мен ішкі күштердің әсерінен тепе-теңдік күйде болуы тиіс.

С татиканың бірінші теңдеуі

осыдан

яғни кез келген m-m қимасындағы көлденең күш Q(z) сол қиманың бір жағында әсер етуші сыртқы күштердің ү өсіне түсірілген проекцияларының алгебралық қосындысына тең.

Статиканың екінші теңдеуі

осыдан

яғни кез келген m-m қимасыңдағы июші момент M(z) сол қиманың бір жағында жатқан сыртқы күштердің С нүктесіне қатысты моменттерінің алгебралық қосындысына тең (С нүктесі m-m қимасының ауырлық орталығы).

Біркелкі таралған күштерді y өсіне проекциялау үшін немесе С нүктесіне қарағаңдағы моментін анықтау үшін, 4-суретте олар биіктігі q-ға, ұзындығы z-ке тең, тік төртбұрыштың ауырлық орталығы арқылы өтетін қорытынды R_q=qz күшімен алмастыры-лады.

К өлденең күш пен июші моменттің таңбалары туралы келесі ережелер қабы-лданады. Көлденең m-m қима-сының сол жағында әсер етіп тұрган сыртқы күштердің қорытынды күші (R) төменнен жоғары қарай, ал оң жақтағы сыртқы күштердің қорытынды күші (R) жоғарыдан төмен қарай бағытталған болса, ол қимадагы жанама күш Q(z) оң таңбалы болып саналады. Кері жағдайда жанама күш теріс таңбалы (5, б-сурет).

Көлденең m-m қимасының сол жағындағы әсер етуші сыртқы күштердің осы қиманың ауырлық орталығына қатысты қорытынды моменті (М) сағат тілінің бағытымен бағыттас, ал оң жағындағы күштердің корытынды моменті сағат тілінің бағытына қарама-қарсы бағытта болса, ол қимадағы июші момент оң таңбалы деп саналады (6, а-сурет). Кері жағдайда июші момент М(z) теріс таңбалы (6, б-сурет) болады.

Таралған күштің қарқындылығы, жанама күш, июші момент араларындағы дифференциалдық байланыс

Б іркелкі таралған күштің қарқы-ндылығы, жанама күш, июші момент араларындағы дифференциалдық байла-ныстарды анықтау үшін 7-суреттегі сырықты қарастырайық. Сол жақтағы A тұғырынан z-ке тең қашықтықта жатқан көлденең қимада пайда болатын жанама күштің шамасы

, ( 2)

ал z + dz-ке тең қашықтықта жатқан көлденең қимадағы жанама күш шамасы

(3)

Соңғы (3) теңдеу мен (2) теңдеудің айырмасын тапсақ немесе

(4)

екенін көреміз.

Демек, кез келген қимадағы жанама күштің теңдеуінен z бойынша алынған бірінші дәрежелі туынды, сол аралықтағы әсер етуші біркелкі таралған күштің қарқындылығына тең.

Абсциссасы z-ке тең көлденең қимадағы июші момент

(5)

ал абсциссасы z + dz-ке тең көлденең қимадағы июші моменттің теңдеуі

(6)

Соңғы (6)-теңдігінен (5)-теңдікті алып тастап

(7)

екенін көреміз.

Демек, кез келген көлденең қимадағы июші моменттің теңдеуінен z бойынша алынған бірінші дәрежелі туынды, осы қимадағы жанама күшке тең. Олай болса

(8)

Көлденең қимадағы июші моменттің теңдеуінен z бойынша алынған екінші дәрежелі туынды осы аралықта әсер етуші біркелкі таралған күштің қарқындылығына тең.

Алынған (4, 7, 8) теңдеулер жанама күш, июші момент, таралған күштің қарқындылығы араларындағы дифференциалдық байланыстарды сипаттайды.

Тік кернеуді анықтау

Июші момент — сырықтың көлденең қимасындағы ішкі тік кернеулердің қоры-тынды моменті. Тік кернеулердің шамасы мен қима бетіндегі таралу заңдылығын анықтау үшін таза иілген сырықты қарастырайық (8, а-сурет).

Е септің статикалық жағы. Таза иілген сырықтың кез келген көлденең қимасында июші моменттен басқа ішкі күштер нөлге тең. Июші момент ішкі күштердің қорытынды моменті болғандықтан, көлденең кимада (m‒m) жатқан кез келген нүктеде тек қана тік кернеу әсер етеді (8, б-сурет).

Сырық таза иіліп деформацияланғанда

N=0, M_x =M, M_y=0,

демек,

. (9)

Статикалық теңдіктер кернеудің шамасы мен қима бетіндегі таралу заңдылығын анықтауға жеткіліксіз. Сондықтан, есеп бір рет статикалық анықталмаған.

Таза иілу кезіндегі деформациялану процесін жазық қималардың бір-біріне қатысты бұрылуы деп қарастыруға болады. Бір-бірінен dz-ке тең қашықтықта орналасқан көршілес екі қиманы қарастырайық (9-сурет).

И ілу әсерінен бұл қималар бір-біріне бұрышын жасай бұрылады. Иіліген кезде қиманың жоғарғы талшықтары созылады да, төменгі талшықтары сығылады. Ал СD талшығының ұзындығы өзгермейді.. Сырықтың ұзындығы өзгеріссіз қалатын талшықтарының геометриялық орны бейтарап жазықтық деп, ал бейтарап жазықтықтың кез келген көлденең қимамен қиылысу сызығы, қиманаң бейтарап сызығы деп аталады. Бұл кезде СD=C’D’=dz=ρdθ. CD сызығынан у-ке тең қашықтықта орналасқан АВ кесіндісі иілудің арқасында шамасына ұзарады. 9-суреттен оның салыстырмалы ұзындығын оңай анықтауға болады:

(10)

Көлденең қимада жанама кернеу жоқ болғандықтан, жанама кернеулердің жұптық ережесіне сәйкес ол бойлық қималарда да жоқ. Сондықтан, бойлық талшықтар өзара әсерлеспейді деп қарастыруға болады. Олай болса, АВ талшығы сызықты кернеулі күйде болады. Сызықтық кернеулі күй үшін Гук заңы = E .

Гук заңына (10)-теңдеуден деформация шамасын қойып

, (11)

кернеудің қарастырылып отырған нүкте мен бейтарап өстің ара қашықтығына (у) тура пропорционал өзгеретінін көреміз. Бейтарап өсте жатқан нүктедегі кернеулер нөлге тең, ал қиманың ең жоғарғы нүктесінде ең үлкен созушы, ал ең төменгі нүктесінде абсолют шамасы жағынан ең үлкен сығушы кернеулер әсер етеді.

Статикалық (9)-тендеуге (11)-теңдікті қойып '

,

ал теңдеудегі интеграл - қиманың х өсіне қатысты өстік инерция моменті екенін ескерсек,

. (12)

Мұндағы -сырықтың қатаңдығы, - сырықтың қисықтығы. Гук заңынан (11)

(13)

яғни

. (14)

Соңғы формула таза иілген сырықтың көлденең қимасыңда жатқан кез келген нүктесіндегі тік кернеуді анықтауға мүмкіндік береді.

Еңді (14)-формуладан σ-ны (9)-тендеулерге қойсақ:

болғандықтан .

Соңғы интеграл – қиманың бейтарап өске қатысты статикалық моменті. Статикалық моменті нөлге тең болғандықтан, бейтарап өс қиманың ауырлық орталығы арқылы өтіп, x өсімен бағытталады;