Дәріс 3. Созылу мен сығылу кезінде беріктік пен қатаңдыққа есептеу

Конструкция элементтері қызметін сенімді атқару үшін оның көлеміндегі ең үлкен кернеу қауіпті кернеуден біршама кіші болуы қажет. Бұл келесі формуламан анықталады

(1)

мұндағы - қауіпсіз кернеу деп аталып, элементтің сенімді қызмет атқару қабілетін сипаттайды, ал n – қауіпсіздік еселігі деп аталып, қауіпсіз кернеудің межелік кернеуден неше есе кіші екенін көрсетеді; σ_l - межелік кернеу.

Межелік кернеу ретінде пластикалық материалдар үшін жұмсару шегі , ал морт материалдар үшін беріктік шегі алынады.

Созылған (сығылған) сырықты беріктікке есептеу үшін, оның көлеміндегі ең үлкен тік кернеуді материал үшін қауіпсіз кернеумен салыстырады.

. (2)

Б ұл теңсіздік созылған (сығылған) сырықтың беріктік шарты деп аталады.

Енді осы мәселелерге мысалдар қарастырайық.

Мысал: 1а-суретте метал сырық көрсетілген, ал 1б-суретте оның көлденең қимасында пайда болатын бойлық күштің эпюрі келтірілген. Сырықтың беріктігін тексеру керек.

Сырық пластикалық болаттан жасалған:

[s]=160 МПа; Р=З0 кН; A₁ =10 cм², A₂ = 4 см².

Шешуі. Сырықтың ІІІ-аралығында көлденең қимасы қауіпті болуы мүмкін емес, өйткені ондағы бойлық күштің абсолют шамасы ІІ аралықтағы бойлық күштің шамасынан аз, ал ІІ мен ІІІ аралықтардағы көлденең қималардың аудандары бірдей. Демек, қауіпті қима І, не ІІ аралықта болуы мүмкін. Осы аралықтардағы тік кернеулерді анықтайық:

мұндағы P =З0 кH=3×10⁴ H, A₁=10 см² = 10×10^-4 м²;

Демек, s_I =120 МПа<[s]=160 МПа; s_c =|s_II|=150 МПа<[s]=160 МПа.

Негізгі әдебиеттер [7, 41-45 бет.], [8, 73-75 бет.], [10, 47-52 бет.]

Қосымша әдебиеттер [16 , 16-25 бет.]

Бақылау сұрақтары:

1. Созылу мен сығылу кезіндегі беріктік шарты.

2. Созылу мен сығылу кезіндегі қатаңдық шарты.

Дәріс 4. Кернеулі және деформацияланған күй теориялары. Нүктедегі кернеулі күй.

К үштер әсерінен статикалық тепе-теңдікте тұрған денені алайық (1-сурет). Дененің А нүктесінің маңынан жақтары координат өстеріне параллель жазық-тықтармен қиып, элементар параллелепипед бөліп алайық. Егер бұл параллелепипедтің өлшемдерін шексіз азайтсақ, онда ол нүктеге айналады. Бұл кезде, параллелепипедтің барлық алты жағы да зерттеліп отырған нүкте арқылы өтеді. Сондықтан да, элементар параллелепипедтің алты жағындағы кернеулер-ді нүктедегі деп есептеуге болады.

Параллелепипедтің әр жағының бетіндегі толық кернеулер, үш құраушыға жіктеледі, оның бірі сәйкес жаққа нормаль бойымен бағытталады да, қалған екеуі жақ жазықтығында жатады (2-сурет).

Тік кернеулерді, бұрынғысынша әрпімен белгілеп, сәйкес өстің индексін береміз ( ). Жанама кернеулерді әрпімен белгілеп, екі индекспен белгілейміз: бірінші индекс кернеу жатқан жазықтыққа нормаль өстің бағытын, ал екінші индекс - олардың бағыттарының қандай өске параллель екендігін көрсетеді (2-сурет).

Созушы тік кернеуді оң, ал сығушы тік кернеуді теріс деп есептейміз.

Жанама кернеулердің таңбаларын бұл жерде қарастырмаймыз, себебі біздер қарастыратын есептерде оның маңызы жоқтың қасы.

Сонымен, нүкте арқылы өтетін, өзара перпендикуляр үш жазықтықтардағы кернеулер белгілі болса, онда нүктенің кернеулі күйі анықталған деп есептеледі.

Бас жазықтықтар және бас кернеулер

Нүктенің жанынан алынған сан алуан элементтердің ішінде аудандарындағы жанама кернеулері нөлге тең элемент біреу-ақ. Бұл элементтің өзара перпендикуляр үш ауданын бас жазықтықтар, ал олардағы тік кернеулерді бас кернеулер деп атайды.

Бас кернеулер – берілген нүктенің кернеулі күйін сипаттайтын тұрақты шамалар. Олар шамалары мен таңбаларына байланысты ең үлкені , ортаншысы , ең кішісі арқылы белгіленеді.

Жалпыланған Гук заңы. Кернеулі күйдің потенциялық энергиясы.

Осы уақытқа дейін кернеулі және деформацияланған күйлер бір бірінен тәуелсіз, жеке-жеке қарастырылып, әрі олар материалдың қасиеттерімен байланыстырылмаған болатын. Алайда, кернеулі күй құраушылары мен мен деформацияланған күй құраушылары арасында белгілі бір тәуелділік бар. Аз мөлшерлі деформациялар жағдайында бұл тәуелділік сызықты тәуелділік түрінде болып, жалпыланған Гук заңы деп аталады.

Жалпыланған Гук заңының ең қарапайым түрі изотропты дене үшін жазылады. Бұл жағдайда, кернеулі күй құраушылары мен деформацияланған күй құраушылары арасындағы пропорционалдық еселіктері нүктедегі өстер бағыттарына тәуелсіз.

Г уктың жалпыланған заңының аналитикалық өрнегін жазу үшін күштер әсерінің тәуелсіздік принципіне сүйеніп, параллелепипедтің әрбір жағына түскен күштерді жеке-жеке қарастырамыз (3-сурет).

σ_x тік кернеуінің әсерінен болатын х өсі бағытындағы салыстырмалы ұзару σ_x/Е тең. ал σ_y және σ_z кернеулері тиісінше х өсі бойынша –μσ_y/E, -μσ_z/E-ге тең салыстырмалы қысқару туындатады. Демек, х өсі бойынша толық салыстырмалы деформация

(1)

Осы тәріздес өрнектерді ε_у и ε_z үшін де жазуға болады. Сонда төмендегідей өрнектерді аламыз

(2)

Дене серпімді деформацияланғанда, ондағы ығысу деформациясының сызықты деформацияға әсері жоқтың қасы болғандықтан, алынған формулалар (2) кернеулі күйдегі элементтердің кернеулері мен деформациялары арасындағы тәуелділікті өрнектеп, изотропты дене үшін жалпыланған Гук заңы деп аталады.

Алынған теңдіктердің оң және сол жақтарын мүшелеп қосып, көлемдік деформация өрнегін аламыз

(3)

Серпімді деформацияланған дененің көлемінде жиналған энергия деформацияның потенциялық энергиясы деп аталады.

Жалпыланған Гук заңын ескере отырып, көлем бірлігіне тиесілі потенциялық энергияны төмендегідей формуламен өрнектеуге болады

. (4)

Бұл формуланы бас кернеулер арқылы өрнектесек:

(5)

Толық потенциялық энергияны табу үшін U₀ өрнегін элементар көлемге көбейткеннен кейін интегралдау керек

. (6)

Толық потенциялық энергия шартты түрде екіге – көлем өзгерту энергиясына (U_0к) және пішін өзгерту энергиясына (U_0п) бөлінеді. Оларды қорытып жатпай-ақ, тек қорытынды формулаларын келтіреміз

; (7)

;

немесе

. (8)

Егер соңғы формуланы кез келген өстер жүйесіндегі кернеулер арқылы өрнектесек:

. (9)

Негізгі әдебиеттер [7, 57-68 бет.], [8, 143-159 бет.], [9, 252-283 бет.]

Қосымша әдебиеттер [16 , 16-25 бет.], [18]

Бақылау сұрақтары:

1. Тік және жанама кернеулер..

2. Сызықтық, өстік және көлемдік кернеулі күйлер.

3. Гуктың жалпыланған заңы.