8.3 Метод простой итерации

Явный стационарный итерационный метод, записанный в канонической форме – метод простой итерации:

(8.40)

Исходная система  - вектор погрешности.



Отсюда для метода простой итерации имеем:

. (8.41)

, (8.42)

– матрица перехода, – собственные числа матрицы S.

Для сходимости стационарного метода (а тем самым и метода простой итерации (8.40)) достаточно, чтобы какая-либо из норм матрицы S была меньше единицы.

и , (8.43)

– минимальное, а – максимальное собственные числа матрицы A.

  ,

– собственные числа матрицы A.

Условие сходимости выполняется при (8.44)

Сходимость тем быстрее, чем меньше .

Задача минимизации =отыскание , при котором (на отрезке ) :

. (8.45)

. (8.46)

. (8.47)

Теорема 5. Пусть , и – минимальное и максимальное собственные числа матрицы A. Тогда метод простой итерации (8.1) сходится при и наибольшая скорость сходимости достигается при

Явный нестационарный итерационный метод:

. (8.48)

A – симметричная, положительно определенная матрица.

Алгоритм выбора последовательности итерационных параметров – из условий минимума функционалов, связанных с такими характеристиками, как вектор невязки или вектор погрешности .

Метод минимальных невязок

(Явный нестационарный итерационный метод)

. (8.48)

A – симметричная, положительно определенная матрица,

– вектор невязки, – вектор погрешности.

Функционал .

Определение 6. Метод минимальных невязок – метод, в котором итерационный параметр выбирается из условий минимизации , при известной .

Из (8.48): ,

.

.

при (8.49)

Алгоритм метода минимальных невязок:

найдено,

. (8.50)

Сходимость метода минимальных невязок:

(8.52)

из (8.49) минимизирует правую часть в (8.52).

При : .

Если ,то ,

где .

Теорема 6. Если A – симметричная и положительно определенная матрица, то метод минимальных невязок (8.50) сходится и справедлива оценка

Метод скорейшего спуска

Определение 7. Метод скорейшего спуска – метод, в котором итерационный параметр выбирается из условий минимальности A-нормы вектора погрешности .

Из (8.48): ,

.

.

Минимум достигается при .

Т.к. неизвестен, но , то .

Алгоритм метода скорейшего спуска:

найдено,

(8.51)

Сходимость метода скорейшего спуска:

Аналогично с учетом :

Теорема 7. Если , то метод скорейшего спуска (8.51) сходится и справедлива оценка

.