
- •8.1 Метод прогонки решения систем линейных алгебраических
- •8.2 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •8.3 Метод простой итерации
- •Метод скорейшего спуска
- •Стационарные неявные двухслойные итерационные методы
- •Релаксационные методы
- •Метод последовательной верхней релаксации – sor-метод:
- •Попеременно- треугольные методы
- •Трехслойные итерационные методы
8.3 Метод простой итерации
Явный стационарный итерационный метод, записанный в канонической форме – метод простой итерации:
(8.40)
Исходная система
- вектор погрешности.
Отсюда для метода простой итерации имеем:
.
(8.41)
,
(8.42)
– матрица перехода,
– собственные
числа матрицы S.
Для сходимости стационарного метода (а тем самым и метода простой итерации (8.40)) достаточно, чтобы какая-либо из норм матрицы S была меньше единицы.
и
,
(8.43)
–
минимальное, а
– максимальное
собственные числа матрицы A.
,
– собственные числа
матрицы A.
Условие сходимости
выполняется при
(8.44)
Сходимость
тем быстрее, чем меньше
.
Задача минимизации
=отыскание
,
при котором (на
отрезке
)
:
.
(8.45)
.
(8.46)
.
(8.47)
Теорема 5.
Пусть
,
и
– минимальное
и максимальное собственные числа
матрицы A.
Тогда метод
простой итерации (8.1)
сходится при
и наибольшая
скорость сходимости достигается при
Явный нестационарный итерационный метод:
.
(8.48)
A – симметричная, положительно определенная матрица.
Алгоритм
выбора последовательности итерационных
параметров – из условий минимума
функционалов, связанных с такими
характеристиками, как вектор невязки
или вектор погрешности
.
Метод минимальных невязок
(Явный нестационарный итерационный метод)
. (8.48)
A – симметричная, положительно определенная матрица,
– вектор невязки, – вектор погрешности.
Функционал
.
Определение 6.
Метод минимальных
невязок – метод, в котором итерационный
параметр
выбирается из
условий минимизации
,
при известной
.
Из
(8.48):
,
.
.
при
(8.49)
Алгоритм метода минимальных невязок:
найдено,
.
(8.50)
Сходимость метода минимальных невязок:
(8.52)
из (8.49) минимизирует правую часть в (8.52).
При
:
.
Если
,то
,
где
.
Теорема 6.
Если A
– симметричная
и положительно определенная матрица,
то метод
минимальных невязок (8.50)
сходится и
справедлива оценка
Метод скорейшего спуска
Определение 7.
Метод скорейшего
спуска – метод, в котором итерационный
параметр
выбирается из условий минимальности
A-нормы
вектора погрешности
.
Из (8.48):
,
.
.
Минимум
достигается при
.
Т.к.
неизвестен, но
,
то
.
Алгоритм метода скорейшего спуска:
найдено,
(8.51)
Сходимость метода скорейшего спуска:
Аналогично с учетом
:
Теорема 7.
Если
,
то метод
скорейшего спуска (8.51)
сходится и
справедлива оценка
.