22

Тема №8

Метод прогонки решений СЛАУ с трехдиагональной матрицей.

Устойчивость. Корректность. Варианты метода прогонки.

Итерационные методы, стационарные и нестационарные.

Теоремы сходимости.

Метод Якоби.

Метод Гаусса-Зейделя.

Каноническая форма итерационных методов. Сходимость.

Метод простой итерации. Сходимость.

Метод релаксации. Сходимость.

Метод наискорейшего спуска.

Метод минимальных невязок.

Метод сопряженных градиентов

8.1 Метод прогонки решения систем линейных алгебраических

уравнений с трехдиагональной матрицей

Определение 1. Матрица называется ленточной, если ее элементы a_ij удовлетворяют условиям a_ij=0 при l<i-j и j-i>m для некоторых неотрицательных чисел l, m; l+m+1 - ширина ленточной матрицы.

m=0 – левая ленточная матрица,

l=0 – правая ленточная матрица,

l=m=1 – трехдиагональная матрица.

, – трехдиагональная матрица.



(8.1)

(8.2)

(8.3)

где – заданные числа,

– неизвестные, .

Метод правой прогонки (O(N) операций):

(8.4)

– прогоночные коэффициенты.

 в (8.2): .

 . (8.5)

– любое: . (8.6)



Рекуррентные соотношения для вычисления и :

, (8.7)

. (8.8)

Из (8.1) и (8.4): .



. (8.9)

Прогонка для : слева направо

Из (8.3) и (8.4): ,



Прогонка для – справа налево

(8.10)

Метод правой прогонки

Определение 2. Прогонка называется корректной, если знаменатели в прогоночных формулах не обращаются в нуль.

Определение 3. Прогонка устойчива, если для всех i = 0,1,...,N .

Лемма (достаточное условие корректности и устойчивости правой прогонки). Правая прогонка устойчива и корректна, если:

Доказательство.

; Примем: докажем

. Лемма доказана.

Вычислительная погрешность.

Для правой прогонки ( вычисляются через ) :

Пусть для всех i.

(8.11)

– вычислительная погрешность не нарастает, метод прогонкИ – устойчив.

Метод левой прогонки (коэффициенты «гонят» назад, неизвестные –вперед)

(8.12)

(8.13)

(8.14)

Метод встречных прогонок (комбинирование правой и левой прогонок)

=? Группа идущих подряд неизвестных=?

 ; и .



 – по формулам правой прогонки,

– по формулам левой прогонки.

Метод циклических прогонок (численное отыскание периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, приближенное решение уравнений в частных производных в цилиндрических и сферических координатах)

Система

(8.15)

коэффициенты и правая часть периодичны с периодом N :

(8.16)

К системам (8.15), (8.16) приходят при.

Решение системы (8.15) – тоже периодическое с периодом N, т.е. достаточно найти решение , например, при i = 0,1, ...,N -1.

(8.17)

(8.18)

Метод немонотонной прогонки для систем с трехдиагональной матрицей

метод прогонки для систем с пятидиагональной матрицей, метод матричной прогонки

Метод прогонки для систем с пятидиагональной матрицей

Метод матричной прогонки

Устойчивость решения задачи по правой части

Частный случай исходной задачи :

(8.19)

Теорема 1 (без доказательства). Пусть в (8.19)

(8.20)

Тогда

(8.21)

Так как для задачи (8.19) справедлива оценка (8.21), то она устойчива по правой части.

Решение задачи, основанное на принципе суперпозиции

(8.27)

Теорема 2. Пусть задача (8.27) однозначно разрешима. Пусть , и есть решения задач

(8.28)

Тогда решение задачи (8.27) дается формулой

(8.29)

Доказательство. Из (8.29) следует, что

.

.

Теорема доказана.

Принцип суперпозиции: общее решение линейной неоднородной задачи есть сумма общего решения однородной задачи и частного решения неоднородной задачи.

Замечание. Для эффективного использования многопроцессорных вычислительных систем требуются алгоритмы, допускающие распараллеливание. В основу параллельных алгоритмов метода прогонки может быть положен принцип суперпозиции: каждая задача в (8.28) может решаться независимо от других задач, одновременно с ними, каждая – на своем процессоре; определение по (8.29) может производиться одновременно на нескольких процессорах для различных значений i.