7.8 Метод отражений
,
,
При выборе матрицы U:
ее вычисление не должно быть чересчур сложным и трудоемким,
умножение на матрицу U не должно «портить» матрицу A (мера обусловленности матрицы A не должна значительно увеличиваться).
Такое приведение матрицы A к верхней треугольной матрице R можно осуществить с помощью последовательных ортогональных преобразований отражения.
AR путем преобразований отражения= преобразование Хаусхолдера
,
(7.15)
где
– некоторый вектор-столбец единичной
длины,
–
симметричная матрица
,
(7.16)
.
U – ортогональная и симметричная.
и
–
подобны.
Свобода задания элементов векторов при построении матриц отражения: выбрать так, чтобы за конечное число шагов преобразований Хаусхолдера произвольно заданную матрицу A привести к верхней треугольной матрице R.
Процесс A(nn) треугольная R за n-1 шаг
,
(7.17)
– матрицы Хаусхолдера.
Задание элементов векторов
при построении матриц отражения для A R
m =1:
,
(7.18)
где
.
(7.19)
– ортогональная
симметричная матрица;
;
=(
)
– матрица с n-1
нулями в первом столбце.
m =2:
,
(7.20)
где
(7.21)
– ортогональная
симметричная матрица;
– матрица с n-2
нулями во
втором столбце.
m =3:
– аналогично, но
фиксируются нулевыми не одна, а две
первые его координаты,
– аналогично, но
определяющую роль играет теперь не
второй, а третий столбец матрицы
и его третий элемент;
– имеет n-3
нулевых элемента в третьем столбце и
сохранятся полученные на предыдущем
шаге нули в первом и втором столбцах.
Этот процесс очевидным
образом может быть продолжен до исчерпания
и без особого труда, если ввести
обозначения для элементов последовательности
матриц
.
Обозначение: Н – матрица отражений.
Теорема. Пусть
.
Тогда существует
ортогональная матрица отражений Н
такая, что
.
(7.22)
При этом все диагональные
элементы верхней треугольной матрицы
R
за исключением,
возможно,
,
положительны.
Метод отражений решения алгебраических систем
Обратный ход, как в методе Гаусса.
Число операций N ~2n3/3.
Этот метод в настоящее
время рассматривается как один из
наиболее устойчивых к вычислительной
погрешности