7.3. Вычисление определителей

Использование точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений :

1) Метод исключения Гаусса:

• выполняемые преобразования прямого хода в методе исключения Гаусса, приводящие матрицу А системы к треугольному виду, таковы, что не изменяют определителя матрицы А,

• определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.



Определитель матрицы равен произведению всех ведущих элементов при ее преобразовании методом Гаусса

2) Метод lu – разложение матрицы:



7.4 Обращение матриц

Определение 6.

AA^-1 = A-¹A = E , где

Определение 7.

Квадратная матрица A – неособенная (невырожденная), если

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу

(7.1)

(7.2)



Чтобы найти элементы обратной матрицы нужно, найти решения n систем линейных алгебраических уравнений (7.2), имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A.

7.5 Применение метода итераций для уточнения элементов обратной

матрицы

A – неособенная матрица

A  .

Итерационный процесс уточнения:

(7.3)

(7.4)

Итерации сходятся, если начальная матрица достаточно близка к искомой матрице A^-1

Окончание процесса: элементы матрицы по модулю стали меньше заданного числа .

Тогда .

7.6 Ортогональные преобразования. Матрицы вращения и отражения. Qr- и hr-разложения матриц

 (7.5)

неособые преобразования

,

cond (U) = cond (BA)  cond (B)  cond (A)

Число обусловленности произведения матриц, не меньше чисел обусловленности сомножителей. Т.е. при преобразованиях, осуществляемых умножением на последовательность матриц, обусловленность системы линейных алгебраических уравнений ухудшается, что может привести к существенному росту погрешности решения.



???????????????????????



Приведение матрицы A к верхнему треугольному виду с помощью ортогональных преобразований

Приведение матрицы a к верхнему треугольному виду с помощью ортогональных преобразований

Определение 8. Матрица с вещественными коэффициентами называется ортогональной, если

. (7.6)

Свойства ортогональных матриц:

. (7.7)

 с помощью ортогонального преобразования:

(7.8)

т.е. обусловленность исходной задачи не изменилась.

Матрицы вращения .

Все остальные элементы матрицы равны нулю.

– ортогональные матрицы.

Умножим слева на : .

Обозначения: ,

элементы матрицы – .

Матрица отличается от матрицы только первыми двумя строками.

Пусть

Хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.



.



Занулили коэффициент при во втором уравнении системы .

Умножим слева преобразованную систему на :

.

,



Занулили коэффициент при в третьем уравнении.



Система с верхней треугольной матрицей

Теорема 1. Пусть . Тогда существует ортогональная матрица Q такая, что

(7.9)

При этом все диагональные элементы верхней треугольной матрицы U , за исключением, возможно, , положительны.

Теорема 2. Пусть . Матрица A разлагается в произведение

, (7.10)

где Q - ортогональная, а R – верхняя треугольная матрица.

Пусть матрица A системы – ортогональная, тогда

. (7.11)

Идея методов ортогонализации: построение преобразования, которое ортогонализирует строки исходной матрицы. Пусть – строки матрицы A. Если , то система векторов является линейно независимой и, следовательно, образует базис в . Следовательно, отыскание нужного преобразования сводится к задаче об ортогонализации базиса. Искомый ортогональный базис можно строить с помощью алгоритма Грамма-Шмидта

7.7 Метод ортогонализации СЛАУ = преобразование, которое ортогонализирует строки исходной матрицы.

Матрицы A, , – строки = линейно независимая система векторов, образующая базис в .

Метод ортогонализации решения СЛАУ:



(7.12)

где

вектор ортогонален линейно независимым векторам

и имеет последнюю координату, равную 1

1. и – ортогональны,

2. – ортогональны ко всему подпространству на векторах ,

3. – ортогональны всякому базису подпространства ,

4. Достаточно: построить любой ортогональный базис подпространства

5. Определение вектора , ортогонального этому базису.

Если – последняя координата вектора , то вектор с отброшенной последней координатой и есть решение исходной системы, т.е. .

Алгоритм построения решения СЛАУ методом ортогонализации – O(n³):

1. К системе линейно независимых векторов добавляем еще один линейно независимый вектор : .

2. Строим ортогональный базис

3. Строим систему ортонормированных векторов таких, что для любого последовательность векторов является ортонормированным базисом подпространства , натянутого на .

4. Так как ортогонален к подпространству , натянутому на вектора , то, имея , вычисляем искомое решение:

, (7.13)

где – компоненты вектора .

Метод простой, однако неустойчивый, если в матрице A строки близки к линейно зависимым.